三角函数的周期与单调区间

题型说明

• 常见问法：「求 $f(x)$ 的最小正周期及单调递增区间」「写出 $f(x)$ 的单调递减区间」。
• 与 三角函数的值域 是同一条流水线的前半段：先化成一条标准式，再读性质。 化不出标准式，这一型就无从下手；化出来了，剩下的全是照抄。

标准式

• 最小正周期：$T=\dfrac{2\pi}{\omega}$。它只跟 $\omega$ 有关，跟 $A$、$\varphi$、$b$ 全都无关。
• 递增区间：让内层 $u=\omega x+\varphi$ 落在正弦自己的递增区间里，即 $$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \le\ \omega x+\varphi\ \le\ \frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$$ 三段同时减 $\varphi$、再同时除以 $\omega$，就解出 $x$ 的区间。
• 递减区间：把上式换成 $\left[\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ \dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right]$，做法一模一样。

三个必须留神的地方

1. $A<0$ 或前面带负号时，增减互换。 $y=-2\sin u$ 在 $u$ 增时是减的。 两种处理都行：要么用 $-\sin\theta=\sin(\theta+\pi)$ 把负号并进相位、化成 $A>0$ 的标准式， 要么老老实实说「外层是减函数，所以取内层的递减区间」。不能两件事都不做。
2. $\omega<0$ 时先把它变正。 用 $\sin(-u)=-\sin u$ 提负号，否则除以负数时不等号要反向，最容易错。
3. 答案是一族区间，$k\in\mathbb{Z}$ 不能丢。 而且这一族的写法不唯一： $\left[-\dfrac{5\pi}{6}+k\pi,\ -\dfrac{\pi}{3}+k\pi\right]$ 与 $\left[\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\ \dfrac{2\pi}{3}+k\pi\right]$ 是同一族（后者只是把 $k$ 换成 $k+1$）。判卷看的是这一族本身，不是某个特定的代表区间。

一条自查

化完之后代一个好算的 $x$ 回原式验一次（比如 $x=0$）。周期与单调区间全都建立在标准式上， 标准式错了，后面两问一起错——这一步的一秒钟能省掉整道题。