三角函数的值域

题型说明

• 常见问法：「求函数 $y=\left[f\left(x+\frac{\pi}{12}\right)\right]^{2}+\left[f\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]^{2}$ 的值域」「求 $f(x)=\sin^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x$ 在 $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值」。
• 它考的不是值域本身（$\sin$ 的值域谁都会背），而是化到标准式的那几步。化完了，答案是抄出来的。

三步固定动作

1. 降幂：凡有平方项，一律用 $\sin^{2}A=\dfrac{1-\cos 2A}{2}$、$\cos^{2}A=\dfrac{1+\cos 2A}{2}$ 换掉； 凡有 $\sin A\cos A$，用 $\sin A\cos A=\dfrac{1}{2}\sin 2A$ 换掉。这一步之后，式子里只剩一次项（角变成 $2A$）。
2. 合一：把剩下的 $a\sin\omega x+b\cos\omega x$ 用辅助角公式并成一个 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\omega x+\varphi)$。 合并前必须先把所有角化成同一个——相位不同的项不能直接相加。
3. 读值域：标准式 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+b$（$A>0$）的值域是 $$[\,b-A,\ b+A\,]\qquad(x\ \text{取遍}\ \mathbb{R})$$ $x$ 若限定在闭区间上，则先算相位 $\omega x+\varphi$ 的范围，再在那一段上看正弦能取到哪些值—— 不能直接套 $[-1,1]$。

判断题目属于这一型的信号

• 出现两个不同相位的同类项（$\sin^{2}(x+\alpha)+\sin^{2}(x+\beta)$、$\sin(x+\alpha)\cos(x+\beta)$）；
• 出现平方或乘积（说明还没降幂）；
• 问的是值域 / 最大值 / 最小值 / 取值范围，而不是某一点的函数值。

一条能省一半计算的观察

两个相位之差是常数时（$\left(x+\beta\right)-\left(x+\alpha\right)=\beta-\alpha$ 与 $x$ 无关）， 可以直接用和差配对：

$A-B$ 是常数，于是 $\cos(A-B)$ 就是振幅，$A+B$ 就是新相位，一步得到标准式， 完全不用展开、也不用辅助角。推导只要把两个 $\sin^{2}$ 各自降幂再对两个余弦用一次和差角公式。

常见陷阱

• 两项各取最大值相加：$\sin^{2}\le 1$ 两项相加得 $y\le 2$，但两项的相位差固定，不可能同时取到 $1$—— 这个上界取不到。必须化到标准式，或验证等号。
• 限定区间忘了搬相位：$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 时相位 $2x-\frac{\pi}{6}\in\left[-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]$， 端点要乘 $\omega$ 再加 $\varphi$。
• 降幂时把 $\cos 2A$ 的三种形式选错：要的是能消掉平方的那一个。
• 辅助角的相位符号写反：合并完代一个特殊值（比如 $x=0$）回验一次，一秒就能查出来。