浙江 2016 · 数学 q05

冷启动：题目问的是「有没有关系」，不是「周期是多少」

函数是

$$f(x)=\sin^{2}x+b\sin x+c ,$$

问它的最小正周期与 $b$、$c$ 各有没有关系。四个选项就是「有关 / 无关」的四种搭配。

「与某个参数有关」是什么意思？ 意思是：换一个参数值，最小正周期这个数会变。 所以要判「有关」，找两个参数值让周期不同就够了； 要判「无关」，得说明任意换参数值周期都不变。这两件事的证明力度完全不同，别混着做。

再看这个函数的构造。它其实是关于 $\sin x$ 的二次式：令 $u=\sin x$，则

$$f(x)=u^{2}+bu+c,\qquad u=\sin x\in[-1,1].$$

• $c$ 是加在最外面的常数，只把整张图上下搬家；
• $b$ 却坐在 $\sin x$ 这一项的系数上，$b=0$ 与 $b\neq0$ 会让函数长得很不一样： 没有 $b\sin x$ 时，$f$ 只含 $\sin^{2}x$，而 $\sin^{2}x$ 的周期比 $\sin x$ 短一半。

下面两条路：一条把两种情形的最小正周期都正面算出来， 一条不算周期，只盯着最大值点落在哪儿。

解法一：降幂之后作差，把周期逼出来

第一步：常数 $c$ 当场出局

记 $g(x)=\sin^{2}x+b\sin x$，那么 $f(x)=g(x)+c$。对任意实数 $T$，

$$f(x+T)=f(x)\ \text{对一切 }x\text{ 成立} \iff g(x+T)+c=g(x)+c \iff g(x+T)=g(x).$$

两边同减一个 $c$ 就完事——$f$ 与 $g$ 的周期的全体逐字相同，最小正周期自然也相同。 $c$ 取什么值都不影响，所以周期与 $c$ 无关。往下只需研究 $g$。

第二步：$b=0$ 时，降幂看出周期 $\pi$

由二倍角公式 $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$，得

$$\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad\text{于是}\qquad g(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x .$$

$y=\cos 2x$ 的最小正周期是 $\dfrac{2\pi}{2}=\pi$。而 $g$ 是它「乘 $-\tfrac12$、再加 $\tfrac12$」得到的—— 乘一个非零常数、加一个常数都不改变「$h(x+T)=h(x)$」这个等式， 所以 $g$ 的周期的全体与 $\cos 2x$ 的完全一样，最小正周期就是

$$T=\pi\qquad(b=0).$$

第三步：$b\neq0$ 时，先确认 $2\pi$ 是周期

$\sin(x+2\pi)=\sin x$，所以

$$g(x+2\pi)=\sin^{2}(x+2\pi)+b\sin(x+2\pi)=\sin^{2}x+b\sin x=g(x).$$

$2\pi$ 确实是周期。但「是周期」不等于「是最小的周期」，下一步才是关键。

第四步：$b\neq0$ 时，作差把比 $2\pi$ 小的全挡掉

构造

$$F(x)=g(x)-g(x+\pi).$$

先算出 $F$ 是什么。因为 $\sin(x+\pi)=-\sin x$，所以 $\sin^{2}(x+\pi)=\sin^{2}x$，于是

$$g(x+\pi)=\sin^{2}x-b\sin x, \qquad F(x)=\bigl(\sin^{2}x+b\sin x\bigr)-\bigl(\sin^{2}x-b\sin x\bigr)=2b\sin x .$$

现在设 $T$ 是 $g$ 的任意一个周期。那么

$$F(x+T)=g(x+T)-g(x+T+\pi)=g(x)-g(x+\pi)=F(x),$$

也就是说 $g$ 的每一个周期都是 $F$ 的周期。而 $b\neq0$ 时 $F(x)=2b\sin x$， 它的周期恰好是 $\{2k\pi: k\in\mathbf{Z}\}$（正弦函数的最小正周期是 $2\pi$）。 所以

$$T\in\{2k\pi\},\qquad\text{正的最小者是 }2\pi .$$

结合第三步（$2\pi$ 确实是周期），得

$$T=2\pi\qquad(b\neq0).$$

第五步：合起来对选项

$$T=\begin{cases}\pi, & b=0,\\[2pt] 2\pi, & b\neq0.\end{cases}$$

$b$ 一变，周期就在 $\pi$ 与 $2\pi$ 之间跳——与 $b$ 有关； 第一步已经说明与 $c$ 无关。四个选项里说「与 $b$ 有关，但与 $c$ 无关」的是 B。

解法二：盯住最大值点，周期只能是它们的间距

这条路一次二倍角公式都不用，只用一个事实： 若 $T$ 是 $f$ 的周期，则 $f$ 的最大值点的全体被平移 $T$ 后仍是原样。 （因为 $f(x_{0}+T)=f(x_{0})$，$x_{0}$ 取到最大值，$x_{0}+T$ 也取到；反之亦然。）

第一步：换元，把最大值点找出来

令 $u=\sin x$，则 $u$ 跑遍 $[-1,1]$，而

$$f=u^{2}+bu+c=:\varphi(u).$$

$\varphi$ 是开口向上的二次函数，所以它在闭区间 $[-1,1]$ 上的最大值必在端点取到：

$$\varphi(1)=1+b+c,\qquad \varphi(-1)=1-b+c .$$

• 若 $b>0$：$\varphi(1)>\varphi(-1)$，最大值 $1+b+c$ 只在 $u=1$ 取到；
• 若 $b<0$：最大值 $1-b+c$ 只在 $u=-1$ 取到；
• 若 $b=0$：两端相等，最大值 $1+c$ 在 $u=1$ 和 $u=-1$ 都取到。

注意 $c$ 只是给最大值加了个数，不改变「在哪个 $u$ 取到」——这已经透出「与 $c$ 无关」。

第二步：$b\neq0$ 时，最大值点每隔 $2\pi$ 才出现一次

以 $b>0$ 为例（$b<0$ 完全对称）。最大值点就是使 $\sin x=1$ 的那些 $x$：

$$M=\Bigl\{\frac{\pi}{2}+2k\pi:\ k\in\mathbf{Z}\Bigr\}.$$

设 $T>0$ 是 $f$ 的周期。把 $x_{0}=\dfrac{\pi}{2}$ 平移 $T$：$f\bigl(x_{0}+T\bigr)=f(x_{0})$ 是最大值， 所以 $x_{0}+T\in M$，即

$$\frac{\pi}{2}+T=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \Longrightarrow\ T=2k\pi .$$

$T>0$ 迫使 $k\geqslant1$，故 $T\geqslant 2\pi$。又 $\sin(x+2\pi)=\sin x$ 使 $2\pi$ 确实是周期， 所以

$$T_{\min}=2\pi\qquad(b\neq0).$$

第三步：$b=0$ 时，最大值点密了一倍

此时最大值点是使 $\sin x=\pm1$ 的那些 $x$：

$$M_{0}=\Bigl\{\frac{\pi}{2}+k\pi:\ k\in\mathbf{Z}\Bigr\},$$

相邻两点只差 $\pi$。同样的推理给出 $T=k\pi$，故 $T\geqslant\pi$； 而 $f(x+\pi)=\sin^{2}(x+\pi)+c=\sin^{2}x+c=f(x)$，$\pi$ 确实是周期。所以

$$T_{\min}=\pi\qquad(b=0).$$

第四步：两条结论

• 与 $b$ 有关：$b=0$ 给 $\pi$、$b\neq0$ 给 $2\pi$，两个值不同—— 这就是一对反例，把「与 $b$ 无关」直接否掉。
• 与 $c$ 无关：整条推理里 $c$ 只出现在最大值的数值上（$1+|b|+c$）， 从没影响过最大值点的位置，也没影响过 $f(x+T)=f(x)$ 这个等式（两边同加 $c$）。 所以换任何 $c$，最小正周期都不变。

「与 $b$ 有关，但与 $c$ 无关」——选 B。

回头看：两条路各自强在哪儿

解法一是三角题的标准打法：先降幂把 $\sin^{2}x$ 换成 $\cos 2x$， 再用 $F(x)=f(x)-f(x+\pi)$ 这一手把「$\pi$ 到底行不行」问出来。 作差这一步很值得记：它把混在一起的两项拆开，只留下周期长的那一项， 于是周期的下界一步到手。

解法二几乎不动手算，靠的是一条通用事实——周期平移保持最大值点的分布。 它的好处是把 $b$ 的作用讲透了：$b\neq0$ 打破了 $\sin x$ 与 $-\sin x$ 的对称， 最大值只剩一半的位置，点与点之间的间距从 $\pi$ 拉成 $2\pi$，周期也就跟着翻倍。 这条路对「$f$ 是 $\sin x$ 的某个函数」这一大类题都管用。

一句话记住这道题：加在最外面的常数从不影响周期； 真正影响周期的，是那一项会不会把 $\sin x$ 与 $-\sin x$ 区别对待。