和函数的周期取成了其中一项的

错在哪

看到 $f(x)=\sin^{2}x+b\sin x$，第一眼认出 $\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$ 周期是 $\pi$， 就写「最小正周期 $\pi$」——把 $b\sin x$ 那一项的 $2\pi$ 忘了。

$\pi$ 是 $\sin^{2}x$ 的周期，却不是 $b\sin x$ 的周期（$b\neq0$ 时）：

反过来的错法一样常见：看到有 $\sin x$ 就一律写 $2\pi$， 可 $b=0$ 时函数根本没有 $\sin x$ 那一项，最小正周期是 $\pi$ 不是 $2\pi$。

正确做法

1. 先看有没有参数把某一项打没。$b\sin x$ 在 $b=0$ 时整项消失——必须分 $b=0$ 与 $b\neq0$ 讨论。
2. 公共周期：若 $T_1$、$T_2$ 分别是两项的周期，则两者的公共周期都是 $f+g$ 的周期； $\pi$ 与 $2\pi$ 的公共周期是 $2k\pi$，所以 $2\pi$ 是周期。
3. 最小性要单独证，不能只说「$2\pi$ 是周期」。两个好用的办法：
   • 作差：$F(x)=f(x)-f(x+\pi)=2b\sin x$。$f$ 的任何周期都是 $F$ 的周期， 于是周期必落在 $2\pi\mathbf{Z}$ 里。
   • 看最大值点：周期平移把最大值点集映到自身，所以周期必是最大值点之间的间距的倍数。

怎么避免

• 口诀：和的周期是公共周期，不是某一项的周期；而且要另证最小。
• 参数出现在某一项的系数上，先问一句「这个系数为零时会怎样」。
• 常数项 $c$ 从不影响周期（$f+c$ 与 $f$ 的周期方程逐字相同），可以第一时间摘出去。