相切化为距离等于半径

解题套路

1. 两边都摆成标准件：圆写成 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$（读出圆心 $(a,b)$ 与半径 $r$），直线写成一般式 $Ax+By+C=0$。
2. 量距离：$d=\dfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$。
3. 相切就写等号：$d=r$。这一步的价值是把交点消掉——不必解交点、不必判别式，方程里只剩圆心、半径与直线的系数。
4. 解未知：题目缺哪个量（半径、圆心的某个坐标、直线的斜率或截距），就把它当未知量从 $d=r$ 里解出来。
5. 回头验：算完把数代回 $d$ 与 $r$ 对一眼；若还给了切点，再核一次切点同时在直线上、在圆上。

与它同源的三句话（比大小即得位置关系）：$d<r$ 相交、$d=r$ 相切、$d>r$ 相离。

边界

• 一个方程只能定一个未知量。 若圆心与半径都不知道（两个未知量），单靠 $d=r$ 不够，必须再补一条方程——最常用的补法是「某个已知点在圆上」。
• 给了切点就有更强的工具：$CP\perp l$（定理/切线垂直于过切点的半径）通常一步就把圆心压到一条法线上，比联立方程更快；$d=r$ 这时留作验算。
• 距离公式要求直线是一般式，$Ax+By+C=0$ 的系数别漏号；写成点斜式再套距离公式是常见的翻车处。
• 竖直线（斜率不存在）也适用：$x=x_{0}$ 就是 $1\cdot x+0\cdot y-x_{0}=0$，$d=|a-x_{0}|$。用一般式就不必分类。