浙江 2012 · 数学 q16

冷启动：这道题只有一半是新的

题目自己给了定义：曲线到直线的距离 = 曲线上的点到该直线的距离的最小值。 两条曲线，一条圆一条抛物线，要它们到 $l: y=x$ 的距离相等。

先做圆那一半——它是完全确定的，不含参数。

$C_2: x^{2}+(y+4)^{2}=2$ 的圆心是 $(0,-4)$、半径 $r=\sqrt{2}$。 圆心到 $l: x-y=0$ 的距离

$$d_{0}=\frac{|0-(-4)|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$$

关键的一句判断：$d_{0}=2\sqrt2>\sqrt2=r$，所以 $l$ 与圆相离。 只有相离时圆到直线的距离才等于 $d_{0}-r$（相切、相交时都是 $0$）。于是

$$d(C_{2},l)=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}.$$

所以题目其实是在问：$a$ 取多少，才让抛物线 $y=x^{2}+a$ 到 $l$ 的距离恰好是 $\sqrt{2}$。

抛物线上点 $(x,x^{2}+a)$ 到 $l$ 的距离是

$$\frac{\bigl|x^{2}+a-x\bigr|}{\sqrt{2}} =\frac{\bigl|(x-\tfrac12)^{2}+a-\tfrac14\bigr|}{\sqrt{2}} . \tag{$\ast$}$$

整道题的全部难点浓缩在那个绝对值上。 括号里的东西最小是 $a-\frac14$：

• 若 $a\geqslant\frac14$，它恒非负，最小值就是 $a-\frac14$，距离 $=\dfrac{a-1/4}{\sqrt2}$；
• 若 $a<\frac14$，它取到 $0$（在 $x=\frac12\pm\sqrt{\frac14-a}$ 处）， 抛物线与 $l$ 有公共点，距离是 $0$，不可能等于 $\sqrt2$。

第一类给 $a-\frac14=2$，即

$$a=\frac{9}{4}.$$

下面四条路的区别，全在怎么对付那个绝对值：路一老实分类；路二先不管、事后舍根； 路三绕开它（先挣到「相离」）；路四让它压根不出现（把「距离等于 $\sqrt2$」直接换成「相切」）。

解法一：原卷路线——圆那边先判相离再相减，抛物线那边配方后按 $a$ 分两类

冷启动就是这条路的完整推导，这里补两处必须写出来的判断。

第一处：圆那边的「相离」不能默认。 很多人直接写 $d(C_{2},l)=d_{0}-r$。这个式子只在 $d_{0}>r$ 时成立。 本题 $d_{0}=2\sqrt2\approx2.83$、$r=\sqrt2\approx1.41$，确实相离，可以用； 但同一道题把圆半径改成 $\sqrt{10}$，$d_0<r$ 就变成「圆心在直线一侧、圆穿过直线」，距离是 $0$。 一句话的判断，值一分。

第二处：抛物线那边的分类，两类都要给理由。

• $a\geqslant\frac14$ 时，$(x-\frac12)^{2}+a-\frac14\geqslant a-\frac14\geqslant0$， 绝对值可以直接去掉，$(\ast)$ 的最小值在 $x=\frac12$ 取到，等于 $\dfrac{a-1/4}{\sqrt2}$。 令它等于 $\sqrt2$：$a-\frac14=2$，得 $a=\frac94$。这个值满足 $a\geqslant\frac14$，成立。
• $a<\frac14$ 时，$\frac14-a>0$，方程 $(x-\frac12)^{2}=\frac14-a$ 有实根， 代进 $(\ast)$ 得距离 $0\neq\sqrt2$。整类无解。

两类穷尽，故 $a=\dfrac{9}{4}$。

回代验一遍：$a=\frac94$ 时 $x^{2}-x+\frac94=(x-\frac12)^{2}+2\geqslant2>0$， 抛物线整个在 $l$ 上方（不相交），最近点 $\left(\frac12,\frac52\right)$ 到 $l$ 的距离 $=\frac{|1/2-5/2|}{\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$。$\checkmark$

解法二：平行切线定最近点——切点固定在 $x=\frac{1}{2}$，距离 $\frac{|a-1/4|}{\sqrt{2}}$，两根里舍一个

这条路把「求最小值」换成「找切点」，代价是绝对值留到最后，会多出一个假根—— 而那个假根正是本题最值得写下来的东西。

先把本条要用的那个 $\sqrt2$ 在这里重算一遍（不引用别处）： 圆 $C_{2}$ 的圆心是 $(0,-4)$、半径 $r=\sqrt2$，圆心到 $l: x-y=0$ 的距离

$$d_{0}=\frac{|0-(-4)|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2 .$$

$2\sqrt2>\sqrt2=r$，直线与圆相离，故 $d(C_{2},l)=d_{0}-r=2\sqrt2-\sqrt2=\sqrt2$。 下面要凑的就是这个数。

为什么最近点处切线平行于 $l$。 设抛物线与 $l$ 无公共点。 把 $l$ 平行地推向抛物线，第一次碰到它的位置就是最近点； 在那个位置，推过来的直线与抛物线只有一个公共点、且抛物线在它一侧——即相切， 所以该点处的切线斜率等于 $l$ 的斜率 $1$。 （「无公共点」这个前提不能省：若抛物线穿过 $l$，最近距离是 $0$，最近点在 $l$ 上，跟切线无关。）

算切点。 $y=x^{2}+a$ 的导数 $y'=2x$，令 $2x=1$ 得 $x=\frac12$， 切点 $P\left(\frac12,\frac14+a\right)$。代入点到直线的距离公式：

$$d(C_{1},l)=\frac{\left|\frac14+a-\frac12\right|}{\sqrt{2}} =\frac{\left|a-\frac14\right|}{\sqrt{2}} .$$

令它等于 $\sqrt2$：

$$\left|a-\frac14\right|=2 \ \Longrightarrow\ a=\frac{9}{4}\quad\text{或}\quad a=-\frac{7}{4} .$$

舍掉 $a=-\frac74$，理由要写清楚。 此时 $x^{2}-x-\frac74=0$ 的判别式

$$\Delta=1+7=8>0,$$

抛物线与 $l$ 有两个公共点，真实距离是 $0$，不是 $\sqrt2$。

保留的那一根同样要显式验一次：$a=\frac94$ 时 $x^{2}-x+\frac94=0$ 的判别式

$$\Delta=1-4\cdot\frac94=1-9=-8<0,$$

抛物线与 $l$ 无公共点——这正是本条开头那个「无公共点」前提， 所以对 $a=\frac94$ 用切点公式是合法的。两根一留一舍，理由都落到了纸上。

那个假根之所以会冒出来，是因为上面那一步用了 $\left|a-\frac14\right|$—— 绝对值把「抛物线在 $l$ 上方」和「在下方」两种情形一视同仁了， 可后者对开口向上的抛物线根本不存在：它必然穿过 $l$。

所以这条路的正确写法是三段：找切点（用到「无公共点」）→ 解绝对值方程 → 逐个回判位置关系。少了第三段，答案会写成两个。

圆那边用同一把尺子：过圆心作 $l$ 的垂线，交圆于两点，靠近 $l$ 的那个是最近点， 它到 $l$ 的距离就是 $d_{0}-r=\sqrt2$；那一点处的切线也平行于 $l$。 本题它是 $(-1,-3)$——教学图第①块把它画出来了。

解法三：把 $a$ 看成竖直平移量——相切临界是 $a=\frac{1}{4}$，此后每上移 $t$ 距离增 $\frac{t}{\sqrt{2}}$

前两条都在处理绝对值。这一条从一开始就让「相离」成为推导的一部分，于是绝对值不会出现。

第一步：找临界。 把 $C_{1}$ 看成 $y=x^{2}$ 竖直上移 $a$。 它与 $l$ 相切当且仅当 $x^{2}+a=x$ 有重根：

$$x^{2}-x+a=0,\qquad \Delta=1-4a=0 \ \Longrightarrow\ a=\frac{1}{4}.$$

于是位置关系被 $a$ 完全分好：

$$a<\frac14\ \text{相交（距离 }0\text{）},\qquad a=\frac14\ \text{相切（距离 }0\text{）},\qquad a>\frac14\ \text{相离（在 }l\text{ 上方）} .$$

要距离为正，必须 $a>\frac14$——这不是事后补的验证，是第一步就挣到的。

第二步：越过临界后，距离随 $a$ 线性增长。 $a>\frac14$ 时抛物线整个在 $l$ 上方，即 $x^{2}+a-x>0$ 恒成立，绝对值可以扔掉：

$$d(C_{1},l)=\min_{x}\frac{x^{2}+a-x}{\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt2}\min_{x}\left[\left(x-\frac12\right)^{2}+a-\frac14\right] =\frac{a-\frac14}{\sqrt{2}} .$$

念出来就是：从临界位置 $a=\frac14$ 起，再上移 $t=a-\frac14$，距离就是 $\dfrac{t}{\sqrt2}$。 $\sqrt2$ 这个分母有几何解释——竖直方向与 $l$ 的法线成 $45^{\circ}$， 竖直挪动 $t$ 只换来 $t\cos45^{\circ}=\dfrac{t}{\sqrt2}$ 的垂直位移。

第三步：把圆那一边也按同一个规矩算出来。 上面两步只处理了抛物线，等式右边那个数还没有来历——它必须在本条里算，不能引用别处。 圆 $C_{2}: x^{2}+(y+4)^{2}=2$ 的圆心是 $(0,-4)$、半径 $r=\sqrt2$，圆心到 $l: x-y=0$ 的距离

$$d_{0}=\frac{|0-(-4)|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2 .$$

这里同样要先判位置关系：$d_{0}=2\sqrt2>\sqrt2=r$，直线与圆相离， 所以才能用「圆心距减半径」——相交时圆到直线的距离是 $0$，而这个式子会给出负数（相切时它恰好还是 $0$，蒙对了，但那不是它成立的理由）。于是

$$d(C_{2},l)=d_{0}-r=2\sqrt2-\sqrt2=\sqrt2 .$$

（这一步是本条自称「把位置关系前置」的另一半：抛物线那边前置成了 $a>\frac14$， 圆这边前置成了 $d_{0}>r$。两边各判一次，一次都不能省。）

第四步：解。 $\dfrac{a-\frac14}{\sqrt2}=\sqrt2$ 给 $a-\frac14=2$，即

$$a=\frac{9}{4}\ \left(>\frac14,\ \text{与第一步相容}\right).$$

这条路一个假根都没有，因为「相离」在第一步就写成了 $a>\frac14$， 而不是留到最后去筛。把位置关系前置，是这一类题最省事的组织方式。

这条路的全貌就是教学图第③块：横轴取 $a$、纵轴取「$C_{1}$ 到 $l$ 的距离」， 得到的是一条水平段接一条斜线——$a\leqslant\frac14$ 时两者相交、距离恒为 $0$（水平段）， 此后按斜率 $\frac{1}{\sqrt2}$ 直线上升（斜线）。要它等于 $\sqrt2$，在水平段上永远等不到，在斜线上恰好等到一次—— 这既是本题只有一个答案的理由，也是 $a=-\frac74$ 为什么是假根的理由：它落在那条水平段上。

解法四：一个判别式收工——距离 $\sqrt{2}$ 就是「与 $l$ 相距 $\sqrt{2}$ 的平行线与曲线相切」

这条路最短，而且它把题目的设计露了出来。

把定义翻译一次。 曲线 $C$ 在 $l$ 的某一侧（无公共点）时， 「$C$ 到 $l$ 的距离等于 $d$」这句话等价于：

与 $l$ 平行、与 $l$ 相距 $d$、且在 $C$ 那一侧的那条直线，与 $C$ 相切， 并且 $C$ 整体落在它的外侧。

因为距离最小的点就是被这条平行线「first touch」的点。

这句翻译有一个前提要写出来：那个最小值得取得到。 本题两条曲线都取得到——圆是闭合的，抛物线上点到 $l$ 的距离是一个强制的二次函数 （$|x|\to\infty$ 时趋于 $+\infty$），最小值必在某一点达到。 对贴着渐近线跑掉的曲线这一条会失效——例如 $y=\frac1x\ (x>0)$ 到它的渐近线 $y=0$： 距离的下确界是 $0$，却在任何一点都取不到，没有「first touch」的那一点，也就没有相切。 题面给的「距离」定义本身也预设了最小值存在。

先把 $\sqrt2$ 定下来——它的来历在本条最后一段。 下面写 $\dfrac{|c|}{\sqrt2}=\sqrt2$ 时用到的这个 $\sqrt2$，是圆 $C_{2}$ 到 $l$ 的距离； 本条最后一段用同一把尺子（切线 + 圆整体在切线一侧）把它独立算出来， 不依赖抛物线这一半。所以逻辑次序是「先圆、后抛物线」，只是叙述上把圆写在了后面—— 不构成循环，但读的时候值得先跳到最后那一段看一眼。

写出那对平行线。 $y=x+c$ 与 $l: y=x$ 的距离是 $\dfrac{|c|}{\sqrt2}$，令它等于 $\sqrt2$：

$$|c|=2 \ \Longrightarrow\ y=x+2\quad\text{与}\quad y=x-2 .$$

抛物线只能挑上面那条。 $y=x^{2}+a$ 开口向上、当 $|x|\to\infty$ 时 $y-x\to+\infty$， 所以它不可能整体落在 $l$ 下方；若它与 $l$ 相交距离就是 $0$。 两条一排除，它必须整体在 $l$ 上方、切住 $y=x+2$。联立：

$$x^{2}+a=x+2 \ \Longrightarrow\ x^{2}-x+(a-2)=0, \qquad \Delta=1-4(a-2)=0 \ \Longrightarrow\ a=\frac{9}{4}.$$

一个判别式，一次分类都不用。 回验：$a=\frac94>\frac14$，抛物线确实整体在 $l$ 上方； 切点 $x=\frac12$，即 $\left(\frac12,\frac52\right)$，落在 $y=x+2$ 上（$\frac52=\frac12+2$）。$\checkmark$

圆那边用同一把尺子，答案自己蹦出来。 圆心 $(0,-4)$ 在 $l$ 下方， 所以要看下面那条 $y=x-2$，即 $x-y-2=0$：

$$\frac{|0-(-4)-2|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}=r .$$

正好相切——所以圆到 $l$ 的距离就是 $\sqrt2$，连「圆心距减半径」都不必算。 切点是 $(-1,-3)$，同样在 $y=x-2$ 上。

于是这道题的设计一眼可见（教学图第①②块合起来画的就是这件事—— 两块各自 x、y 等比，但②把窗口放大了，因为圆离抛物线太远，一个窗口装不下那 $\frac14$ 的贴合）： 命题人先固定那对平行线 $y=x\pm2$，让圆从下方贴住一条、抛物线从上方贴住另一条， 再把抛物线的截距藏起来当未知数。「距离相等」从来不是两个最值碰巧相等， 而是两条曲线各贴住同一对平行线中的一条。

四条路怎么选

• 考场上写路四：两行——平行线是 $y=x\pm2$，抛物线切上面那条，判别式为零。 快、而且不给自己留舍根的机会。
• 路三是路四的「手算版」：不需要想到平行线那层几何，只要会「先找相切临界、再看平移量」， 同样不产生假根。第一次做这类题，建议按路三组织，因为它把「位置关系」摆在最前面。
• 路二值得写一遍，但只为了看见那个假根。 它是这道题唯一的坑： $\left|a-\frac14\right|=2$ 的两根里，$a=-\frac74$ 会把抛物线搬到与 $l$ 相交的位置， 那里距离是 $0$。记住这个坑比记住答案有用——把 $\sqrt2$ 换成任何别的数，坑都在原处。
• 路一是基本功，圆那边的「先判相离」是任何路线都不能跳的一步。

一句话带走

「曲线到直线的距离」是最小值，而最小值等于 $d$ 就是「与 $l$ 相距 $d$ 的那条平行线切住曲线」。 本题那对平行线是 $y=x+2$ 与 $y=x-2$：圆 $x^{2}+(y+4)^{2}=2$ 从下方切住后者 （圆心到它的距离 $\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$ 正是半径），抛物线 $y=x^{2}+a$ 从上方切住前者， 判别式 $1-4(a-2)=0$ 给出 $a=\dfrac94$。 别忘了 $\left|a-\frac14\right|=2$ 的另一根 $a=-\frac74$ 已经让抛物线穿过 $l$，那里距离是 $0$。