距离化为平行线相切

解题套路

1. 写出那对平行线。 与 $l: Ax+By+C=0$ 平行、与它相距 $d$ 的直线有两条：

即 $C'=C\pm d\sqrt{A^{2}+B^{2}}$。

2. 判断曲线在 $l$ 的哪一侧，据此在两条里挑一条。开口向上的抛物线不可能整体在一条直线下方；圆则看圆心在哪一侧。这一步不能省——挑错边会得到另一个（假）答案。

3. 令它与曲线相切。 相切的代数出口按曲线类型选：

   • 二次曲线：联立后判别式为 $0$；
   • 圆：圆心到这条平行线的距离等于半径；
   • 一般可导曲线：切点处导数等于该直线的斜率。

4. 回验「整体在外侧」，相切才真的给出最小值（否则曲线穿过这条线，最小距离比 $d$ 小）。

为什么它比「求最值」省

把每一点到 $l$ 的距离写成函数再求最小值，要么配方要么求导，还要处理绝对值分支；而平行线的位置是已知的（$d$ 是题目给的），于是「最小值等于 $d$」这句话直接兑换成「相切」，只剩一个判别式。未知量从「最值点在哪」变成「这条已知直线和曲线切不切」，讨论量少一层。

反过来也成立

看到「某条与 $l$ 平行的直线与曲线相切」，就可以立刻读出「曲线到 $l$ 的距离等于这两条平行线之间的距离」。命题人常用这个方向造题：先定好切线，再倒推出题面里的那个常数。