到直线的距离漏判曲线与直线相交

易错点

「曲线 $C$ 到直线 $l$ 的距离」定义成曲线上的点到 $l$ 的距离的最小值。这个定义里藏着一个分水岭：

于是任何「把距离写成一个式子、令它等于给定值」的做法，都先要保证曲线与直线不相交；否则解出来的根可能落在「其实已经相交」的一侧，那里真实距离是 $0$，与方程无关。

两个最常踩的形状

① 圆：忘了先判位置关系。 圆到直线的距离等于

相切时是 $0$、相交时也是 $0$（弦上的点就在 $l$ 上）。直接写 $d-r$ 而不验一句「$d>r$」，相交的题会算出一个负数还照抄下去。

② 抛物线 / 一般曲线：绝对值方程给了两根。 设 $C: y=f(x)$，到 $l: y=x$ 的距离是

如果先算出 $f(x)-x$ 的最小值 $M$，再写成 $\dfrac{|M|}{\sqrt2}=d$，就会得到 $M=\pm\sqrt2\,d$ 两支。只有 $M\geqslant 0$ 那一支是对的：$M<0$ 说明 $f(x)-x$ 取到负值，而它在 $x\to\pm\infty$ 处若为正，中间必有零点，曲线与 $l$ 相交，真实距离是 $0$。

根源是同一件事：$\min|u|\neq\bigl|\min u\bigr|$。 先取绝对值再求最小，和先求最小再取绝对值，只有在 $u$ 不变号时才相同。

怎么防

1. 把「不相交」写成一个显式条件，放在解方程之前：圆写 $d>r$，抛物线写判别式为负（或最小值非负）。
2. 解出的每个根都回代判一次位置关系——这一步比验算算术更重要，因为算术没错、位置关系错了。
3. 能绕开绝对值就绕开：先找到「相切」的临界参数，再说明越过临界之后距离随参数单调变化，这样「不相交」是推导中挣到的，不是事后补验的。