待求角拆成已知角的和差

解题套路

题面给的是几个组合角的三角函数值（$\alpha+\beta$、$\dfrac{\pi}{4}-\alpha$、$2\alpha-\beta$……），要求的是另一个组合角的值。

新手的第一反应是「先把 $\alpha$、$\beta$ 各自解出来」——那通常又慢又难看（反三角函数、根式套根式）。正确的第一步是先做一次加减法：

1. 写出待求角与已知角的关系。 把待求角 $\theta$ 试着写成 $\theta=A-B$、$\theta=A+B$ 或 $\theta=2A-B$ 这类形式，其中 $A$、$B$ 是题面给了函数值的那些角。

2. 验一遍常数角有没有抵掉。 这一步是「凑」得成不成的关键：如果 $A=\dfrac{\pi}{4}+\alpha$、$B=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}$，那么

   $$A-B=\Big(\frac{\pi}{4}+\alpha\Big)-\Big(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\Big)=\alpha+\frac{\beta}{2},$$

   两个 $\dfrac{\pi}{4}$ 自己对消——待求角出现了，而且没有任何多余的常数。

3. 补齐要用的另一半。 两角和差公式要 $\cos A$、$\sin A$、$\cos B$、$\sin B$ 四个数，题面通常只给两个，另两个由同角三角函数的基本关系补出来——符号由角所在的范围定，不是随手取正。

4. 代公式收工。

常见的几种「凑法」

最后一行提醒的是另一类凑法：两个角互余或互补时，用不着和差公式，一条诱导公式就换过去了。

要留神的两处

• 先看范围，再定符号。 凑角本身不出错，出错的多半在第 3 步：由 $\cos A$ 反求 $\sin A$ 时开方要取正还是取负，得由 $A$ 的范围判。而 $A$ 的范围有时比题面给的还窄——已知的那个函数值本身会再收紧一次（例如 $A\in\Big(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\Big)$ 且 $\cos A>0$，那 $A$ 只能在 $\Big(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\Big)$ 里）。
• 凑成和还是凑成差，公式的中间符号不同。 $\cos(A-B)$ 展开中间是加、$\cos(A+B)$ 是减，与正弦正好相反。凑对了角却记反了符号，答案往往正好落在另一个选项上。