浙江 2023 · 数学 q08

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2023 · 数学 q08 原卷截图（含答案）

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题面

8．（5分）（2023•新高考Ⅰ）已知sin⁡(α−β)=13, cos⁡αsin⁡β=16,\sin \left( \alpha - \beta \right) = {\frac{1}{3}} , \ \cos \alpha \sin \beta = {\frac{1}{6}} ,，则cos⁡(2α+2β)=()\cos \left( 2 \alpha + 2 \beta \right) = ( \qquad )

A79\frac{7}{9} B19\frac{1}{9} C−19- {\frac{1}{9}} D−79- {\frac{7}{9}}

答案

B

解析

分析

由已知结合和差角公式先求出sinαcosβ，再求出sin⁡(α+β)\sin ( \alpha + \beta )），然后结合二倍角公式可求

解答

解：因为sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−sin⁡βcos⁡α=13,cosαsin⁡β=16,\sin \mathrm{( \alpha \mathrm{-} \beta \mathrm{)}} = \sin \alpha{\cos \mathrm{\beta}} \mathrm{-} \sin \beta{\cos \mathrm{\alpha}} = \frac{1}{3} , \mathrm{c o s} \alpha{\sin \beta} = \frac{1}{6} ,所以sinαcosβ=12,\mathrm{s i n} \alpha \mathrm{c o s} \beta{=}{\frac{1}{2}} ,所以sin⁡ (α+β) =sin⁡αcos⁡β+sin⁡βcos⁡α=12+16=23,\sin \mathrm{\ ( \alpha + \beta )} \ = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha = {\frac{1}{2}} + {\frac{1}{6}} = {\frac{2}{3}} ,则cos⁡ (2α+2β) =1 − 2sin⁡2 (α+β) =1 − 2×49=19.\cos \ ( 2 \alpha + 2 \beta ) \ = 1 \ - \ 2 \sin^{2} \ ( \alpha + \beta ) \ = 1 \ - \ 2 \times \frac{4}{9} = \frac{1}{9} .

故选：B