浙江 2023 · 数学 q08

冷启动：把目标拆成「先凑角，再倍角」

已知 $\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{1}{3}$、$\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{6}$，求 $\cos(2\alpha+2\beta)$。

注意目标是 $2\alpha+2\beta=2(\alpha+\beta)$，所以它是 $\cos 2\theta$ 的形式，$\theta=\alpha+\beta$。路线因此分两步：先把 $\sin(\alpha+\beta)$ 凑出来，再用二倍角公式把 $2(\alpha+\beta)$ 降下来。条件给的是 $\alpha-\beta$ 的正弦和 $\cos\alpha\sin\beta$ 这一块，正好够拼出 $\alpha+\beta$ 的正弦。

解法一：凑 sin(α+β) 再用 1−2sin²

怎么想到的。 把已知的 $\sin(\alpha-\beta)$ 用和角差角公式摊开，里面就有 $\cos\alpha\sin\beta$ 这一块，跟题目给的另一块一对照，缺的 $\sin\alpha\cos\beta$ 就解出来了。

① 摊开 $\sin(\alpha-\beta)$，解出 $\sin\alpha\cos\beta$。

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{3}$$

代入 $\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{6}$：

$$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$$

② 拼出 $\sin(\alpha+\beta)$。 它跟 $\sin(\alpha-\beta)$ 只差中间那个符号：

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$$

③ 二倍角降角。 $\cos(2\alpha+2\beta)=\cos 2(\alpha+\beta)$。二倍角公式的余弦有三种等价写法；我们手里直接有的是 $\sin(\alpha+\beta)$，所以套含 $\sin$ 的 $1-2\sin^2\theta$ 最省事（另两种 $2\cos^2\theta-1$、$\cos^2\theta-\sin^2\theta$ 也能用，只是得先把 $\cos^2(\alpha+\beta)$ 换成 $1-\sin^2(\alpha+\beta)$，绕一圈又回到 $1-2\sin^2$，并非另一条路）：

$$\cos(2\alpha+2\beta)=1-2\sin^2(\alpha+\beta)=1-2\times\left(\frac{2}{3}\right)^2=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}$$

为什么是「只有一条路」。 卡点不在最后选哪个二倍角公式——那三种形式在这里殊途同归：因为 $\cos^2(\alpha+\beta)=1-\sin^2(\alpha+\beta)$ 已由 $\sin(\alpha+\beta)$ 定死，$2\cos^2\theta-1$ 与 $\cos^2\theta-\sin^2\theta$ 代进去都化回 $1-2\sin^2(\alpha+\beta)$（注意：定不出的是 $\cos(\alpha+\beta)$ 的正负，但二倍角只用到它的平方，所以不影响结果）。真正无可替代、绕不开的一步是前面用和差角从已知两块凑出 $\sin(\alpha+\beta)$。所以「凑 $\sin(\alpha+\beta)$ + 二倍角」不是偷懒，而是这道题仅有的实质路线。

🕳️ 避坑

• 差角展开 $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta\ \mathbf{-}\ \cos\alpha\sin\beta$ 中间是减号；写成加号，$\sin\alpha\cos\beta$ 立刻算错。
• 二倍角余弦有三种等价写法；手里只有 $\sin(\alpha+\beta)$ 时直接写 $1-2\sin^2\theta$ 最不易错（另两种要先补 $\cos^2=1-\sin^2$，多一步还容易手滑）。最怕把 $1-2\sin^2\theta$ 的符号记反成 $2\sin^2\theta-1$，那会得到 $2\times\frac{4}{9}-1=-\frac{1}{9}$，正中干扰项 C；这正是二倍角余弦的三种形式选错的典型翻车。

对照选项 A. $\dfrac{7}{9}$、B. $\dfrac{1}{9}$、C. $-\dfrac{1}{9}$、D. $-\dfrac{7}{9}$，故选 B。