浙江 2015 · 数学 q16

冷启动：两个条件只定形状，面积才定大小

题目给了两句：

$$A=\frac{\pi}{4} ,\qquad b^{2}-a^{2}=\frac12 c^{2} .$$

这两句都不含”多大”这个信息。 把三条边同时放大 $k$ 倍， $b^{2}-a^{2}$ 与 $\dfrac12 c^{2}$ 都放大 $k^{2}$ 倍，等式照样成立；角 $A$ 更是与大小无关。 所以这两句合起来只能定出一个相似类——形状唯一，大小待定。

这正好解释了题目为什么这样分两问：

• 第（1）问求 $\tan C$，这是个只与形状有关的量，前两句就够了，不必等到面积出场；
• 第（2）问给出面积 $=3$，这才把缩放定死，于是每条边都有了具体的长度。

先把这层结构看清楚，两条路就都只是”怎么把形状算出来”的技术选择了。 下面第一条路把三条边都写成 $c$ 的倍数（$c$ 就是那个待定的缩放），第二条路干脆把边全换成角 （角本来就与大小无关）。它们其实是同一个想法的两种实现。

解法一：余弦定理消掉 $a$，三条边全写成 $c$ 的倍数

第一步：把 $a$ 换掉

条件里同时有 $a$、$b$、$c$ 和角 $A$。余弦定理正好把这四个量绑在一起：

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=b^{2}+c^{2}-\sqrt2\,bc ,$$

移项得到一个不含 $a$ 的式子：

$$b^{2}-a^{2}=\sqrt2\,bc-c^{2} .$$

与题目给的 $b^{2}-a^{2}=\dfrac12 c^{2}$ 对上：

$$\sqrt2\,bc-c^{2}=\frac12 c^{2} \ \Longrightarrow\ \sqrt2\,bc=\frac32 c^{2} .$$

$c$ 是三角形的一条边，$c>0$，可以约掉一个 $c$：

$$\sqrt2\,b=\frac32 c \ \Longrightarrow\ b=\frac{3}{2\sqrt2}c=\frac{3\sqrt2}{4}c .$$

第二步：$a$ 也写成 $c$ 的倍数

回到 $a^{2}=b^{2}-\dfrac12 c^{2}$：

$$a^{2}=\frac{9\cdot 2}{16}c^{2}-\frac12 c^{2}=\frac98 c^{2}-\frac48 c^{2}=\frac58 c^{2} \ \Longrightarrow\ a=\frac{\sqrt{10}}{4}c .$$

到这里形状已经完全定了：$a:b:c=\dfrac{\sqrt{10}}{4}:\dfrac{3\sqrt2}{4}:1$， 与冷启动里说的一样，$c$ 还悬着，那是大小。

第三步：再用一次余弦定理，这回求 $\cos C$

$$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} =\frac{\dfrac58 c^{2}+\dfrac98 c^{2}-c^{2}} {2\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{4}c\cdot\dfrac{3\sqrt2}{4}c} .$$

分子 $=\left(\dfrac58+\dfrac98-\dfrac88\right)c^{2}=\dfrac34 c^{2}$； 分母 $=2\cdot\dfrac{3\sqrt{20}}{16}c^{2}=\dfrac{6\cdot 2\sqrt5}{16}c^{2}=\dfrac{3\sqrt5}{4}c^{2}$。 $c^{2}$ 上下约掉：

$$\cos C=\frac{3/4}{3\sqrt5/4}=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5} .$$

$c$ 约掉这件事不是巧合——$\cos C$ 是形状量，本来就不该依赖缩放。 算到这里如果 $c$ 没约干净，一定是前面错了。

三角形的内角 $C\in(0,\pi)$，所以 $\sin C>0$，只取正根：

$$\sin C=\sqrt{1-\cos^{2}C}=\sqrt{1-\frac15}=\frac{2\sqrt5}{5} , \qquad \tan C=\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{2\sqrt5/5}{\sqrt5/5}=2 .$$

第（1）问答完：$\tan C=2$。

第四步：面积把 $c$ 定死，再回到 $b$

面积公式里的角必须是那两条边的夹角。$a=BC$、$b=CA$ 交于顶点 $C$， 所以配 $a$、$b$ 的正是 $\sin C$：

$$S=\frac12 ab\sin C =\frac12\cdot\frac{\sqrt{10}}{4}c\cdot\frac{3\sqrt2}{4}c\cdot\frac{2\sqrt5}{5} =\frac38 c^{2} .$$

令它等于 $3$：$c^{2}=8$，$c=2\sqrt2$。回代第一步：

$$b=\frac{3\sqrt2}{4}\cdot 2\sqrt2=\frac{3\cdot 2\cdot 2}{4}=3 .$$

第（2）问答完：$b=3$。

解法二：正弦定理边化角，一步平方差恒等式定出 $\tan B$

冷启动说了，前两个条件只定形状。而”形状”最自然的坐标不是边长比，是三个角。 那就把边全换成角，看看条件变成什么样。

第一步：边化角

由正弦定理，$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$。 把这个公共比值记作 $\lambda$，于是 $a=\lambda\sin A$、$b=\lambda\sin B$、$c=\lambda\sin C$。 代进 $b^{2}-a^{2}=\dfrac12 c^{2}$，两边同有的 $\lambda^{2}$ 约掉：

$$\sin^{2}B-\sin^{2}A=\frac12\sin^{2}C .$$

$\lambda$ 被约掉，正是”这个条件与大小无关”的代数版——$\lambda$ 装的正是那个待定的缩放。

第二步：一条平方差恒等式

左边是两个正弦的平方差，有一条现成的因式分解：

$$\sin(B+A)\sin(B-A)=\sin^{2}B-\sin^{2}A .$$

证起来只要展开两角和与差的正弦公式再用一次 $\sin^{2}+\cos^{2}=1$：

$$(\sin B\cos A+\cos B\sin A)(\sin B\cos A-\cos B\sin A) =\sin^{2}B\cos^{2}A-\cos^{2}B\sin^{2}A ,$$ $$=\sin^{2}B(1-\sin^{2}A)-(1-\sin^{2}B)\sin^{2}A=\sin^{2}B-\sin^{2}A .$$

而在三角形里 $A+B+C=\pi$，所以 $\sin(A+B)=\sin(\pi-C)=\sin C$—— 这里是 $\pi$ 减，出来的是 $+\sin C$；写成 $\sin(A-B)$ 或者带个负号，整道题就废了。 于是条件化成

$$\sin C\cdot\sin(B-A)=\frac12\sin^{2}C .$$

$C\in(0,\pi)$ 保证 $\sin C\neq 0$，约掉一个：

$$\sin(B-A)=\frac12\sin C=\frac12\sin(A+B) .$$

第三步：代入 $A=\dfrac{\pi}{4}$，化成 $\tan B$

$$\sin\left(B-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12\sin\left(B+\frac{\pi}{4}\right) .$$

两边展开（$\cos\dfrac{\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$）：

$$\frac{\sqrt2}{2}\left(\sin B-\cos B\right) =\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}\left(\sin B+\cos B\right) .$$

$\dfrac{\sqrt2}{2}$ 两边约掉，得 $2\sin B-2\cos B=\sin B+\cos B$，即

$$\sin B=3\cos B .$$

两边关于 $\sin B$、$\cos B$ 同次齐次，同除 $\cos B$ 就只剩正切 （$\cos B\neq 0$：否则由 $\sin B=3\cos B$ 得 $\sin B=0$，与 $\sin^{2}B+\cos^{2}B=1$ 矛盾）：

$$\tan B=3 .$$

第四步：内角和换到 $C$

$$C=\pi-A-B=\frac{3\pi}{4}-B ,$$ $$\tan C=\tan\left(\frac{3\pi}{4}-B\right) =\frac{\tan\dfrac{3\pi}{4}-\tan B}{1+\tan\dfrac{3\pi}{4}\tan B} =\frac{-1-3}{1+(-1)\cdot 3}=\frac{-4}{-2}=2 .$$

第（1）问答完：$\tan C=2$——全程没算过一条边。

第五步：面积直接吐出 $b$，不必先求 $c$

由 $\tan B=3$ 且 $B$ 是三角形内角（$\sin B>0$）得 $\sin B=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$； 同理由 $\tan C=2$ 得 $\sin C=\dfrac{2}{\sqrt5}$；而 $\sin A=\dfrac{\sqrt2}{2}$。

面积用 $S=\dfrac12 ab\sin C$（$C$ 正是 $a$、$b$ 的夹角）， 再用正弦定理把 $a$ 换成 $b$：$a=\dfrac{b\sin A}{\sin B}$，于是

$$S=\frac{b^{2}\sin A\sin C}{2\sin B} =\frac{b^{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{2}{\sqrt5}}{2\cdot\dfrac{3}{\sqrt{10}}} =b^{2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt{10}}{6} =b^{2}\cdot\frac{\sqrt{20}}{6\sqrt5}=\frac{b^{2}}{3} .$$

令 $\dfrac{b^{2}}{3}=3$，得 $b^{2}=9$，边长为正，故 $b=3$。第（2）问答完。

这一步比解法一省了一整轮：解法一要先由面积解出 $c$、再回代求 $b$； 这里把 $a$ 就地换成 $b$，面积公式直接成了关于 $b$ 的方程。

两条路怎么选

考场上第（1）问两条都不慢；第（2）问明显是解法二省事—— 把 $a$ 换成 $b$ 之后面积直接就是 $b$ 的方程，绕开了 $c$。 如果一时想不起平方差那条恒等式，解法一是稳妥的保底：它只用两次余弦定理， 每一步都在做纯粹的代数化简。

一句话带走

齐次的条件只管形状、面积只管大小——先把这两件事分开，再决定”化成边”还是”化成角”。 本题化成角更划算：$\sin^{2}B-\sin^{2}A=\sin(A+B)\sin(B-A)$ 一步就把条件压成 $\tan B=3$， 第（2）问的面积公式也因此能直接写成 $b$ 的方程。