齐次式化正切

解题套路

1. 看次数：分子分母都是 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 的多项式，且各项次数相同（$n$ 次），这叫 $n$ 次齐次式。
2. 不齐次就补：缺的那部分乘上 $1=\sin^2\theta+\cos^2\theta$（要补 $2$ 次）或 $1=\sin^2\theta+\cos^2\theta$ 的幂， 把常数项撑成同次。常见的补法就是给一个孤零零的 $1$ 配一个分母。
3. 上下同除 $\cos^n\theta$：每个 $\sin\theta$ 变成 $\tan\theta$、每个 $\cos\theta$ 变成 $1$， 整个式子变成只含 $\tan\theta$ 的有理式，代一次就出数。

为什么可以只用 tanθ

齐次式除以 $\cos^n\theta$ 之后，式子只依赖 $\tan\theta$ 一个量——所以给 $\tan\theta$ 就能定值， 不必知道 $\theta$ 在哪个象限，也不必反求 $\sin\theta$、$\cos\theta$（那一步才要分两支定符号）。 反过来说，凡是「已知 $\tan\theta$ 求某个三角式」的填空题，先检查那个式子能不能化成齐次的： 能化，这条路一步到位；不能化（例如只给 $\sin\theta+\cos\theta$ 这种一次式又要求平方值），就得另想办法。

两个最常用的形

分母那个 $1$ 就是补上去的（$1=\cos^2\theta+\sin^2\theta$，把 $0$ 次的 $1$ 撑成 $2$ 次）。 同理 $\dfrac{a\sin\theta+b\cos\theta}{c\sin\theta+d\cos\theta}=\dfrac{a\tan\theta+b}{c\tan\theta+d}$（$1$ 次齐次）， 以及 $\dfrac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta$（把 $1$ 补成 $2$ 次再除）。

边界

• 除以 $\cos^n\theta$ 要求 $\cos\theta\neq 0$。题目给了 $\tan\theta$ 的值，这个条件自动满足 （$\tan\theta$ 存在就意味着 $\cos\theta\neq0$）；若条件是别的形式（例如只给 $\sin\theta$）， 先确认 $\cos\theta\neq 0$ 再除。
• 只有齐次才能这么除。$\sin\theta+1$ 这种（$1$ 次 + $0$ 次）不是齐次式， 硬除会得到 $\tan\theta+\frac{1}{\cos\theta}$，并没有化简。