浙江 2021 · 数学 q03

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2021 · 数学 q03 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

  1. 已知非零向量 a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, 则“a⃗⋅c⃗=b⃗⋅c⃗\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}”是“a⃗=b⃗\vec{a} = \vec{b}”的（）
    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
    C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

答案

B

解析

分析

考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

如图所示， OA→=a⃗,OB→=b⃗,OC→=c⃗,BA→=a⃗−b⃗\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c},\overrightarrow{BA}=\vec{a}-\vec{b} ，当 AB⊥OCAB\perp OC 时， a⃗−b⃗\vec{a}-\vec{b} 与 c⃗\vec{c} 垂直， (a⃗−b⃗)⋅c⃗=0\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\cdot\vec{c}=0 ，所以 a⃗⋅c⃗=b⃗⋅c⃗\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c} 成立，此时 a⃗≠b⃗\vec{a}\neq\vec{b} ，

∴a⃗⋅c⃗=b⃗⋅c⃗\therefore \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} 不是 a⃗=b⃗\vec{a} = \vec{b} 的充分条件，

当 a⃗=b⃗\vec{a} = \vec{b} 时，a⃗−b⃗=0⃗\vec{a} - \vec{b} = \vec{0}，∴(rra−b)⋅c=0⋅c=0,∴a⃗⋅c⃗=b⃗⋅c⃗\therefore \left( \begin{array}{cc} \mathrm{r} & \mathrm{r} \\ a - b \end{array} \right) \cdot c = 0 \cdot c = 0, \therefore \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} 成立，

∴a⃗⋅c⃗=b⃗⋅c⃗\therefore \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} 是 a⃗=b⃗\vec{a} = \vec{b} 的必要条件，

综上，“a⃗⋅c⃗=b⃗⋅c⃗\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}”是“a⃗=b⃗\vec{a} = \vec{b}”的必要不充分条件

故选：B.