浙江 2021 · 数学 q03

读题：两个方向各判一次

题目给了非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$，问：

$$p:\ \vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c} \qquad\text{是}\qquad q:\ \vec{a}=\vec{b}$$

的什么条件。

先在草稿上写下箭头方向：题目问的是 $p$ 相对于 $q$ 的地位——$p$ 能不能推出 $q$（充分性），$q$ 能不能推出 $p$（必要性）。两个方向各判一次，然后对号入座。

解法一：双向判定法

充分性：$p\Rightarrow q$？——不成立，举反例

怎么想到的。 看到 $\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}$，第一反应是移项：

$$\vec{a}\cdot\vec{c}-\vec{b}\cdot\vec{c}=0 \quad\Longrightarrow\quad (\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{c}=0$$

这说明 $\vec{a}-\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 垂直——但垂直不等于零向量！只要 $\vec{a}-\vec{b}$ 是任何一个与 $\vec{c}$ 垂直的非零向量，$p$ 就成立而 $q$ 不成立。

构造反例。 取 $\vec{c}=(1,0)$，$\vec{a}=(0,1)$，$\vec{b}=(0,2)$（全为非零向量）：

$$\vec{a}\cdot\vec{c}=0\times1+1\times0=0,\qquad \vec{b}\cdot\vec{c}=0\times1+2\times0=0$$

所以 $\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}=0$，$p$ 成立。但 $\vec{a}=(0,1)\neq(0,2)=\vec{b}$，$q$ 不成立。

充分性判否。

必要性：$q\Rightarrow p$？——成立，直接推

怎么想到的。 若 $\vec{a}=\vec{b}$，则 $\vec{a}-\vec{b}=\vec{0}$，于是

$$(\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{0}\cdot\vec{c}=0$$

展开就是 $\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}$。

这一步没有任何额外条件——向量相等则对任何 $\vec{c}$ 做数量积都相等，是恒等变形。

必要性成立。

对号入座

$p$ 是 $q$ 的必要条件（$q\Rightarrow p$ 成立），但不是充分条件（$p\nRightarrow q$）。

答案选 B：必要不充分条件。

几何直觉：为什么「投影相等」推不出「向量相等」

把 $\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}$ 两边除以 $|\vec{c}|$：

$$\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{|\vec{c}|}=\frac{\vec{b}\cdot\vec{c}}{|\vec{c}|}$$

左边是 $\vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影长度，右边是 $\vec{b}$ 的。条件 $p$ 说的就是：$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影相等。

但两个向量在某个方向上投影相等，只说明它们垂直于 $\vec{c}$ 的分量可以不同——正如图中 $A$、$B$ 两点在同一条垂直于 $\vec{c}$ 的直线上，投影完全相同，向量却不相等。

🕳️ 避坑

• 本题最容易犯的错是把充分和必要说反。$p$ 推不出 $q$，说明 $p$ 不是 $q$ 的充分条件；$q$ 能推出 $p$，说明 $p$ 是 $q$ 的必要条件。箭头射出的一端充分，射入的一端必要——$q\Rightarrow p$，箭头从 $q$ 射向 $p$，所以 $p$ 必要。
• 另一个常见错误是看到 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{c}=0$ 就直接「约掉」$\vec{c}$，得出 $\vec{a}=\vec{b}$。数量积不满足消去律——$\vec{u}\cdot\vec{c}=0$ 只说明 $\vec{u}\perp\vec{c}$ 或 $\vec{u}=\vec{0}$，不能消去 $\vec{c}$。