浙江 2008 · 数学 q03

冷启动：先把箭头方向钉死

题目问的是：

「$a^{2}>b^{2}$」是「$a>b$」的（　）条件

记 $p$：$a^{2}>b^{2}$，$q$：$a>b$。「$p$ 是 $q$ 的什么条件」问的是 $p$ 相对 $q$ 的地位，两个词各对应一个箭头方向：

• $p$ 是 $q$ 的充分条件，意思是 $p\Rightarrow q$——有 $p$ 就够了，$q$ 一定跟着成立；
• $p$ 是 $q$ 的必要条件，意思是 $q\Rightarrow p$——要有 $q$，就非得先有 $p$ 不可。

四个选项恰好是这两个箭头的四种组合（都成立 / 只成立前一个 / 只成立后一个 / 都不成立）， 所以这道题必须判两次，判完一次就下结论，正是出题人摆好的四个坑之一。

题设只有一句「$a$、$b$ 都是实数」——没有正负限制，也没有大小限制。 这一句看着像废话，其实是本题的全部要害：正是因为 $a$、$b$ 可以一正一负， 「平方」这个动作才可能把大小关系整个翻过来。

解法一：两个反例，一次断一个方向

怎么想到的。 两个箭头，各是一句「对所有实数 $a$、$b$ 都成立」的话。 要否掉这样一句话，用不着讲道理——构造反例，造出一个实例让它当场失败就行，一个就够。 于是这道题被拆成两件小事：造一个「$p$ 真而 $q$ 假」的例子，再造一个「$q$ 真而 $p$ 假」的例子。

怎么造。 两句话的差别只在一个「平方」。平方会把负数变正、还会把绝对值大的变得更大， 所以想让 $p$ 与 $q$ 分家，就让 $a$、$b$ 一正一负，再让负的那个绝对值更大—— 这样比大小时负数吃亏，比平方时负数占便宜，两次比较的结论正好相反。

① 否掉充分性（$p\Rightarrow q$）。 取 $a=-3$，$b=1$，两条逐个验：

$$a^{2}=9,\quad b^{2}=1,\qquad 9>1\ \text{成立，故 }p\ \text{真}$$ $$a=-3,\quad b=1,\qquad -3>1\ \text{不成立，故 }q\ \text{假}$$

有一个实例满足 $p$ 却不满足 $q$，所以 $p\Rightarrow q$ 不成立——$p$ 不是 $q$ 的充分条件。

② 否掉必要性（$q\Rightarrow p$）。 把上面那两个数对调，取 $a=1$，$b=-3$：

$$a=1,\quad b=-3,\qquad 1>-3\ \text{成立，故 }q\ \text{真}$$ $$a^{2}=1,\quad b^{2}=9,\qquad 1>9\ \text{不成立，故 }p\ \text{假}$$

有一个实例满足 $q$ 却不满足 $p$，所以 $q\Rightarrow p$ 不成立——$p$ 不是 $q$ 的必要条件。

③ 两个方向都断了。 既不充分、也不必要，选 D。

一句自查。 反例的用法有方向：否充分性的反例要「满足 $p$、不满足 $q$」， 否必要性的反例要「满足 $q$、不满足 $p$」。两个例子里 $a$、$b$ 的位置是对调的， 写的时候把 $p$、$q$ 各验一遍再收工，别只验一半。

解法二：都写成乘积的符号，差别只剩 $a+b$

怎么想到的。 解法一告诉我们「两个方向都断」，却没说为什么断、什么时候不断。 要看清这一点，就别急着代数，先把两句话化成同一种形状再比。比大小的通用入口是作差定号： $A>B$ 改判 $A-B$ 的符号。两句话作完差正好都能因式分解，一比就看出差在哪里。

① 两句话各作一次差。 $q$ 这边一步到位：

$$a>b\iff a-b>0$$

$p$ 这边作差之后用平方差公式分解（$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$，初中就学过的恒等式）：

$$a^{2}>b^{2}\iff a^{2}-b^{2}>0\iff (a-b)(a+b)>0$$

② 把两个形状摆在一起看。 现在 $q$ 是「$a-b>0$」，$p$ 是「$(a-b)(a+b)>0$」—— $p$ 比 $q$ 多乘了一个因子 $a+b$。乘一个因子会不会改号，全看这个因子的正负，于是分三种情形：

• $a+b>0$：正数乘不改号，$(a-b)(a+b)>0\iff a-b>0$，此时 $p$ 与 $q$ 等价；
• $a+b<0$：负数乘改号，$(a-b)(a+b)>0\iff a-b<0$，此时 $p$ 与 $q$ 正好相反；
• $a+b=0$：乘积恒为 $0$，$p$ 永远假；而 $q$ 未必假（如 $a=1$、$b=-1$ 时 $q$ 真）。

③ 关键在于：题设没有钉住 $a+b$ 的符号。 题目只说 $a$、$b$ 是实数， 上面三种情形都真的会发生，所以第二、三两种情形各给出一个反例：

• 取 $a=-3$、$b=1$，此时 $a+b=-2<0$、$a-b=-4<0$，乘积 $(-4)\times(-2)=8>0$，故 $p$ 真而 $q$ 假 ——$p$ 不充分；
• 取 $a=1$、$b=-3$，此时 $a+b=-2<0$、$a-b=4>0$，乘积 $4\times(-2)=-8<0$，故 $q$ 真而 $p$ 假 ——$p$ 不必要。

两个方向都断，选 D。

这条路多给出的那句话。 若题目再补一句「$a+b>0$」（例如改成「$a$、$b$ 都是正数」）， 上面第一种情形就是唯一情形，两句话立刻升级成充要条件。 「什么时候两边平方能保号」，答案就写在那个多出来的因子上。

解法三：画到 $aOb$ 平面上，看两块区域谁装得下谁

怎么想到的。 「充分」「必要」这两个词最容易说反，而集合包含不会： 把每个条件成立的全部 $(a,b)$ 收成一个点集，$p$ 的集合装进 $q$ 的集合里就是充分、反过来就是必要。 本题的 $a$、$b$ 都是自由实数，一对 $(a,b)$ 就是坐标平面上的一个点——于是判断两个集合的包含关系 这件事，可以直接画出来看。

① 画 $q$ 的集合。 $a>b$ 就是 $b<a$：以 $a$ 为横轴、$b$ 为纵轴，这是直线 $b=a$ 下方的开半平面 （直线本身不算，因为 $a=b$ 时 $a>b$ 假）。

② 画 $p$ 的集合。 $a^{2}>b^{2}$ 两边都非负，开方即得等价形式

$$a^{2}>b^{2}\iff |a|>|b|$$

（这一步是等价的：$t\mapsto t^{2}$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格递增，故 $|a|^{2}>|b|^{2}\iff|a|>|b|$。） $|a|>|b|$ 的图形是两条直线 $b=a$ 与 $b=-a$ 夹出的左右两个角：右边那个角是 $a>0$ 且 $-a<b<a$， 左边那个角是 $a<0$ 且 $a<b<-a$。上下两个角（$|b|>|a|$）不在里面。

③ 读包含关系——两处都要读，别只读一处。

• $p$ 的集合装不进 $q$ 的集合：看左边那个角。那里 $a<0$ 且 $|b|<|a|=-a$，于是 $b>-|a|=a$， 即左角整块落在直线 $b=a$ 的上方，与 $q$ 的半平面一个点都不相交。 所以 $p\not\Rightarrow q$。（图上左角里的红点 $(-3,1)$ 就是随手拈的一个。）
• $q$ 的集合也装不进 $p$ 的集合：$q$ 的半平面里，直线 $b=-a$ 下方的那一片（$a>0$、$b<-a$， 或 $a<0$、$b<a$）满足 $|b|>|a|$，不在 $p$ 里。所以 $q\not\Rightarrow p$。 （图上的红点 $(1,-3)$ 正落在这一片里。）

④ 互不包含 ⟹ 两个方向都不成立，故 D。

顺带看清两块区域的公共部分。 $p$ 与 $q$ 的交集恰是右边那个角（$a>0$、$|b|<a$）—— 右角里 $a>0$ 且 $b<a$，本来就整块落在 $q$ 里。而「$a>0$ 且 $|b|<a$」蕴含 $a+b>0$， 这正是解法二算出来的那个「两句话等价」的区域。两条路在图上对上了。

三条路回头看。 解法一最快：两个数一代，两个方向当场断掉，考场上十几秒的事， 代价是它只回答「是哪一个选项」，不回答「为什么」。解法二把两句话化成同一形状， 差别收进一个因子 $a+b$，于是连什么时候两句话等价都一并答了—— 这是唯一能顺手解决「加什么条件能升级成充要」那类追问的路。解法三把两个条件画成两块区域， 「充分 / 必要」这对最容易说反的词换成了「谁装得下谁」这个看得见的事实， 集合一复杂（三个条件、带参数）越占便宜，代价是要把两块区域都画准，尤其别漏掉左边那个角。

三条路挑出的是同两个点。 解法一的两个反例 $(-3,1)$ 与 $(1,-3)$， 在解法二里是「$a+b<0$ 而 $a-b$ 异号」的两种情形，在解法三里是左角里的点与 $b=-a$ 下方的点。 同一件事换了三种说法。

🕳️ 避坑

• 别把「$p$ 是 $q$ 的…」读反。 题干问的是 $p$ 相对 $q$ 的地位：充分对应 $p\Rightarrow q$、 必要对应 $q\Rightarrow p$。读反了，本题的答案仍是 D（因为两个方向恰好都断）， 下一道题就不会这么侥幸了。落笔前先在草稿上写下 $p\Rightarrow q$ 这个箭头。
• 两个方向都要判。 找到一个反例只说明某一个方向断了，另一个方向还没碰过。 本题若只造出 $(-3,1)$ 就收手，会在「必要不充分」（B）与「既不充分也不必要」（D）之间乱选。
• $a^{2}>b^{2}$ 不等于 $a>b$，也不等于 $|a|>b$。 它的等价形式是 $|a|>|b|$—— 两边都要带绝对值。少写一边的绝对值，第三条路的区域就会画成一个半平面，左边那个角整块丢掉， 于是错判成「充分不必要」。
• 反例必须满足题设的全部条件。 本题的题设只有「$a$、$b$ 都是实数」，随便取都合格； 但这只是本题宽松，换成「$a>0$」之类的题，取反例前得先看一眼自己取的数合不合题设。