浙江 2010 · 数学 q04

冷启动：两个条件只差一个 $\sin x$

题目问的是：在 $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ 上，「$x\sin^{2}x<1$」是「$x\sin x<1$」的什么条件。

判这种题的关键动作只有一个：两个方向各判一次——「左边能不能推出右边」「右边能不能推出左边」，然后对号入座。而这道题把两个方向的难度拆得很开，因为两个式子之间的关系一眼可见：

$$x\sin^{2}x=(x\sin x)\cdot\sin x .$$

区间内 $0<\sin x<1$，乘上一个真小于 $1$ 的正数只会变小，所以恒有 $x\sin^{2}x<x\sin x$。更小的那个更容易小于 $1$——一个方向就这么定下来了。剩下的全部力气都花在另一个方向：更小的那个小于 $1$ 时，大的那个是不是也小于 $1$？

图上那条淡红的窄带就是答案：它非空，所以「$x\sin^{2}x<1$」推不出「$x\sin x<1$」；它只在一侧（左边那段两个条件都成立），所以反过来推得动。

顺带说清原卷那句「取值范围相同」。 它不是在定方向——方向由 $x\sin^{2}x<x\sin x$ 定。它真正兑现的是另一件事：两个条件都不是恒成立的。$x\sin x$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 上的取值范围是 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，里头有超过 $1$ 的数，所以「$x\sin x<1$」确实会失效，那条缝才有可能存在。少了这一句，「更小的推不出更大的」就只是可能，不是一定。这句话该说，但它只是半张证明，另外半张仍得由下面任一条路给出。

解法一：两式只差一个 $\sin x$——必要性一眼可见，不充分靠一个临界点

怎么想到的。 既然 $x\sin^{2}x<x\sin x$ 是白给的，那就先把这个方向吃干净；剩下的方向要否掉，按惯例只需一个反例，不必证明。难点只在于这个反例上哪儿找——下面会看到，它不必算出来，只要说得清它存在就够。

① 必要性：$x\sin x<1\Rightarrow x\sin^{2}x<1$。

$0<x<\dfrac{\pi}{2}$ 时 $0<\sin x<1$，于是

$$x\sin^{2}x=(x\sin x)\cdot\sin x<(x\sin x)\cdot1=x\sin x<1 .$$

所以「$x\sin x<1$」成立时「$x\sin^{2}x<1$」一定成立——按定义，后者是前者的必要条件（箭头射入的一端必要）。

② 不充分性：造一个反例。 要找的是这样一个 $x$：它让 $x\sin^{2}x<1$ 成立，却让 $x\sin x<1$ 失败。

先说这样的 $x$ 为什么一定存在。令 $h(x)=x\sin x$，它在 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 上连续，两端取值

$$h(0)=0<1,\qquad h\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\approx1.571>1 ,$$

由零点存在定理（对 $h(x)-1$ 用），存在 $\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 使

$$\alpha\sin\alpha=1 .$$

就取 $x=\alpha$。 这一点上：

• 「$x\sin x<1$」不成立——它恰好取等；
• 「$x\sin^{2}x<1$」成立——因为

$$\alpha\sin^{2}\alpha=(\alpha\sin\alpha)\cdot\sin\alpha=1\cdot\sin\alpha=\sin\alpha<1 ,$$

最后一步用的还是 $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow\sin\alpha<1$。

一个反例就够，于是「$x\sin^{2}x<1$」推不出「$x\sin x<1$」。

合起来：必要而不充分，答案 B。

这个反例妙在不用算。 $\alpha$ 没有初等闭形（$x\sin x=1$ 是超越方程，数值约 $1.114$），但整条论证里一次都不需要它的值：存在性由零点存在定理给，反例的验证靠的是 $\alpha\sin\alpha=1$ 这个定义式本身，代进去就把 $\alpha\sin^{2}\alpha$ 化成了 $\sin\alpha$。考场上算不出 $\sin1.114$，但这条路根本不需要算。

解法二：两个条件各解成区间——比右端点

怎么想到的。 「谁充分谁必要」两个词太抽象，最容易说反；换成集合就变成「谁装得下谁」这件看得见的事。所以把两个条件各自的解集写出来，比包含关系。

① 两个函数在区间上都严格递增。 在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 上，$x$ 是正的且递增，$\sin x$ 也是正的且递增，两个正的递增函数相乘仍递增，故 $x\sin x$ 递增；$\sin^{2}x$ 同样正且递增，故 $x\sin^{2}x$ 也递增。

② 各自恰好穿过 $1$ 一次。 两个函数都连续，$x\to0^{+}$ 时都趋于 $0<1$；而在 $x_{0}=\dfrac{5\pi}{12}$（它确实小于 $\dfrac{\pi}{2}$）处，

$$\sin^{2}x_{0}=\frac{1-\cos\dfrac{5\pi}{6}}{2}=\frac{2+\sqrt3}{4}, \qquad x_{0}\sin^{2}x_{0}=\frac{5\pi}{12}\cdot\frac{2+\sqrt3}{4}=\frac{5\pi\left(2+\sqrt3\right)}{48}>\frac{5\times3.1\times3.7}{48}>1 ,$$

而 $x\sin x>x\sin^{2}x$，所以两个函数在 $x_{0}$ 处都已经超过 $1$。由连续性，各与 $1$ 至少相遇一次；又都严格递增，所以至多一次。于是两个根都落在 $\left(0,x_{0}\right)$ 里，记

$$\alpha\sin\alpha=1,\qquad \beta\sin^{2}\beta=1 .$$

由单调性，两个条件的解集就是

$$A=\left\{x\mid x\sin x<1\right\}=(0,\alpha),\qquad B=\left\{x\mid x\sin^{2}x<1\right\}=(0,\beta).$$

③ 比右端点。 把 $\alpha$ 代进 $x\sin^{2}x$：

$$\alpha\sin^{2}\alpha=(\alpha\sin\alpha)\sin\alpha=\sin\alpha<1=\beta\sin^{2}\beta ,$$

而 $x\sin^{2}x$ 递增，值小的那个自变量也小，故 $\alpha<\beta$。于是

$$A=(0,\alpha)\subsetneq(0,\beta)=B .$$

④ 对号入座。 $A\subsetneq B$ 即「$x\sin x<1$」的范围小、「$x\sin^{2}x<1$」的范围大。小范围推大范围：前者推得出后者，后者推不出前者。题面问的是后者相对于前者的地位——大范围的那个是必要条件，且因为包含是真包含，不充分。

答案 B。

这条路的好处是它顺手把「反例带」定量了：反例恰好是 $[\alpha,\beta)$ 里的点，一个不多一个不少。

解法三：画两条曲线——看谁先穿过 $y=1$

怎么想到的。 不等式解不出闭形时，把「小于 $1$」读成「图象落在直线 $y=1$ 下方」——问题从解不等式变成读图。

① 两条曲线的上下关系是死的。 区间内部 $0<\sin x<1$，故 $x\sin^{2}x<x\sin x$：绿线恒在蓝线下方（只有在区间的两个端点 $0$ 与 $\dfrac{\pi}{2}$ 处它们才相遇，而这两点不在开区间里）。

② 两条都在上升，而且都确实穿过了 $y=1$。 上升是因为：区间内 $x>0$ 且递增、$\sin x>0$ 且递增，正的递增乘正的递增仍递增，故 $x\sin x$ 递增；$\sin^{2}x$ 同样正且递增，故 $x\sin^{2}x$ 也递增——两条曲线一路往右上走，中途不回头。

穿不穿得过去要单独验一句，不能靠图上看着像。取 $x_{0}=\dfrac{5\pi}{12}<\dfrac{\pi}{2}$，$\sin^{2}x_{0}=\dfrac{1-\cos\dfrac{5\pi}{6}}{2}=\dfrac{2+\sqrt3}{4}$，于是

$$x_{0}\sin^{2}x_{0}=\frac{5\pi}{12}\cdot\frac{2+\sqrt3}{4} =\frac{5\pi\left(2+\sqrt3\right)}{48}>\frac{5\times3.1\times3.7}{48}=\frac{57.35}{48}>1 .$$

连下面那条绿线在 $x_{0}$ 处都已经高过 $1$，上面的蓝线自然更高。两条曲线在 $x\to0^{+}$ 时又都趋于 $0<1$，由连续性各自都在 $\left(0,x_{0}\right)$ 内穿过 $y=1$，由单调性各自只穿一次。记穿点的横坐标为 $\alpha$（蓝）与 $\beta$（绿），则

$$0<\alpha<\frac{\pi}{2},\qquad 0<\beta<x_{0}=\frac{5\pi}{12}<\frac{\pi}{2} .$$

③ 绿线一定穿得更晚。 在 $x=\alpha$ 处蓝线恰好到 $1$，而绿线一路在蓝线下方，故此刻绿线还在 $1$ 以下；绿线递增、要到 $\beta$ 才够着 $1$，所以 $\alpha<\beta$——「在下方」就这么翻译成了「穿得晚」，不用算出这两个数。

④ 区间被两个交点切成三段（看图的上半）：

中间那一行就是答案：有「$x\sin^{2}x<1$ 成立而 $x\sin x<1$ 不成立」的地方，没有反过来的地方。必要而不充分，答案 B。

这条路多给了什么。 它让人看清这道题为什么不能靠试特殊角。缝的两端是 $\alpha\approx1.114$ 与 $\beta\approx1.175$，只有 $0.06$ 宽，而两边最近的特殊角都够不着：

$$\frac{\pi}{3}\cdot\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3\pi}{6}<\frac{1.74\times3.15}{6}<1 \quad(\text{两个条件都成立，落在缝左}),$$

而上面 ② 已经算出 $\dfrac{5\pi}{12}$ 处连绿线都超过了 $1$（两个条件都不成立，落在缝右）。常用特殊角一个都不在缝里。想落进缝里，只能像解法一那样用方程定义那个点——这正是「反例不一定要算得出来，说得清就行」的典型场合。