函数的零点

教材原文

与二次函数的零点一样，对于一般函数 $y = f(x)$，我们把使 $f(x) = 0$ 的实数 $x$ 叫做函数 $y = f(x)$ 的零点（zero）.

这样，函数 $y = f(x)$ 的零点就是方程 $f(x) = 0$ 的实数解，也就是函数 $y = f(x)$ 的图象与 $x$ 轴的公共点的横坐标. 所以

方程 $f(x) = 0$ 有实数解

$\Leftrightarrow$ 函数 $y = f(x)$ 有零点

$\Leftrightarrow$ 函数 $y = f(x)$ 的图象与 $x$ 轴有公共点.

零点是一个数，不是一个点

名字里带「点」，但它是横坐标，是一个实数。写「零点是 $(3,0)$」在阅卷时按错处理——正确的写法是「零点是 $3$」。

三种说法之间怎么换

同一件事有三张脸，题目给你哪张、你就换成最好办的那张：

最后一行是含参题里最有用的一条：参数被拆到一条水平线上，于是「$a$ 取哪些值时方程有解」就变成「水平线扫过 $y=g$ 的值域时扫得到哪些高度」——答案直接是 $g$ 的值域。

零点存在与零点唯一，是两件事

• 存在：靠函数零点存在定理（连续 + 端点异号 ⟹ 至少一个）。
• 唯一：靠单调性。存在定理只给「至少一个」，要把「至少」升级成「恰好一个」，必须另外说明函数在这段上严格单调（或用别的办法排掉第二个）。

两件事分开写，是解答题里这一类第一问的标准得分点：先单调，再异号，缺哪一半都不完整。

隐零点：算不出来也能用

很多方程（$e^x-x-a=0$、$\ln x+2x-6=0$）根本没有初等的解析解。这时零点 $x_0$ 只作为一个记号存在，但它满足的那条等式是白送的：

比如 $f(x)=e^{x}-x-a$ 的零点 $x_0$ 给出 $e^{x_0}=x_0+a$——一条把超越式换成一次式的代换。后续凡是出现 $e^{x_0}$ 的地方全部换掉，题目就从超越的降成代数的。「解不出来」不等于「用不上」：用不上的是它的值，用得上的是它满足的方程。