浙江 2014 · 数学 q06

冷启动：条件有两半，作用完全不同

$$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c ,\qquad 0<\underbrace{f(-1)=f(-2)=f(-3)}_{\text{这一半定形状}}\leqslant 3 .$$

条件挤在一行里，其实是两件事：

• 等号那一半：$f(-1)=f(-2)=f(-3)$。三个等式（其实是两个独立的）只含 $a$、$b$， 和 $c$ 一点关系都没有——$c$ 是常数项，在每个 $f(-k)$ 里都原样出现，两边一减就消掉了。 所以这一半把 $a$、$b$ 钉死，也就是把曲线的形状钉死。
• 不等号那一半：$0<(\text{那个公共值})\leqslant 3$。形状定了以后，唯一还能动的就是整条曲线的 上下位置，而这个公共值正是位置的度量。这一半管的是平移。

于是全题只剩一句话要回答：曲线上下平移时，$c$ 跟着怎么动？

$c=f(0)$——它是曲线在 $x=0$ 处的高度。曲线整体上移多少，$f(0)$ 就跟着上移多少。 所以 $c$ 与那个公共值之间只差一个固定的常数，找出这个常数，把区间平移过去就完事了。

这个常数是 $6$。 两条路都在算它，只是算法不同。

解法一：先解方程组定 a、b，再把 c 单独留在不等式里

第一步：两个等式，两个未知数

把三个值写出来（$c$ 会自动消掉）：

$$\begin{aligned} f(-1)&=-1+a-b+c ,\\ f(-2)&=-8+4a-2b+c ,\\ f(-3)&=-27+9a-3b+c . \end{aligned}$$

由 $f(-1)=f(-2)$ 与 $f(-1)=f(-3)$：

$$\begin{cases} -1+a-b=-8+4a-2b ,\\ -1+a-b=-27+9a-3b , \end{cases} \qquad\text{即}\qquad \begin{cases} 3a-b=7 ,\\ 8a-2b=26 . \end{cases}$$

第二式除以 $2$ 得 $4a-b=13$，与第一式相减得 $a=6$，回代得 $b=11$。

$$f(x)=x^{3}+6x^{2}+11x+c .$$

第二步：把那个公共值用 $c$ 表示

三个点算哪一个都行，挑最好算的 $x=-1$：

$$f(-1)=-1+6-11+c=c-6 .$$

这就是那个固定的常数 $6$。 它说的是：受限制的那个值比 $c$ 小 $6$。

第三步：解不等式

$$0<c-6\leqslant 3 \quad\Longrightarrow\quad 6<c\leqslant 9 .$$

不等式两端同加一个数，方向不变、区间长度也不变——整段区间原样右移 $6$。

$$\boxed{\text{选 C}}$$

解法二：三点等值就是三个根，直接把 f(x)−k 因式分解

第一步：给那个公共值起个名字

设

$$k=f(-1)=f(-2)=f(-3) ,$$

题目给的就是 $0<k\leqslant 3$。现在看函数

$$g(x)=f(x)-k .$$

$-1$、$-2$、$-3$ 这三个数代进去都得 $0$——它们是 $g$ 的三个零点。

第二步：三次、首项系数 $1$、三个零点 $\Rightarrow$ 因式分解一步到位

$g(x)=f(x)-k$ 仍是三次多项式，最高次项还是 $x^{3}$（减一个常数不改变任何非常数项）。 一个三次多项式有三个互不相同的零点，就被这三个零点分解干净了；首项系数是 $1$，连比例常数都不用配：

$$g(x)=(x+1)(x+2)(x+3) , \qquad\text{即}\qquad f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)+k .$$

到这一步，$a$、$b$ 根本没露过面。 想验的话展开一下： $(x+1)(x+2)(x+3)=x^{3}+6x^{2}+11x+6$，$a=6$、$b=11$ 自动出现，和解法一算出来的一样。 （说清楚一点：零点是 $-1$、$-2$、$-3$，$1,2,3$ 是三个因式里的常数、也就是零点的相反数。 下面凡是出现 $1\times 2\times 3$ 的地方，说的都是这三个常数。）

第三步：$c$ 是 $x=0$ 处的值

$$c=f(0)=(0+1)(0+2)(0+3)+k=1\times 2\times 3+k=6+k .$$

那个固定的常数 $6$ 在这里露出了真面目：它是三个因式常数的乘积 $1\times 2\times 3$ （等价地，三个零点之积的相反数 $-(-1)(-2)(-3)$）。 于是由 $0<k\leqslant 3$ 直接得

$$6<c\leqslant 9 .$$ $$\boxed{\text{选 C}}$$

这条路为什么更快

它把「三点等值」翻译成了一句关于形状的话：$f$ 只能是那条固定的三次曲线上下平移。 一旦这么看，$a$、$b$、$c$ 三个字母就不必分别求了：

只有 $c$ 那一行多了个 $k$——因为平移只改变常数项。这也正是全题的机关所在。

四个选项：同一段区间的四次平移

四个选项是

$$(-\infty,3] ,\quad (3,6] ,\quad (6,9] ,\quad (9,+\infty) ,$$

长度都是 $3$（两端那两个是它的自然延伸），端点开闭也一模一样，差的只有位置。 这不是巧合：出题人把「平移量取 $0$、$3$、$6$、$9$」四种可能都摆了出来。

所以「区间长度对上了」根本不能当作自检。 唯一能自检的动作是回代： 取 $c=9$ 算 $f(-1)=9-6=3$，正好压在 $\leqslant 3$ 的上界上； 取 $c=6$ 算 $f(-1)=0$，正好被 $>0$ 排除在外。两个端点各验一次，开闭也一并验了。

两条路怎么选

考场上走解法二。但它的前提要看清：三次、首项系数已知、三个零点（这里是 $-1$、$-2$、$-3$）互不相同—— 三条缺一条就不能这样一步写完。本题里三条都写在脸上（$x^{3}$ 的系数是 $1$，三个点两两不等）。

一句话带走

「几个点取同一个值」这句话，等价于「减去那个值以后，这几个点是零点」。 零点一到手，多项式就被因式分解钉死了，剩下的自由度只有那一个平移量 $k$。 本题里 $f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)+k$，于是 $c=f(0)=6+k$—— 受限制的是 $k$ 不是 $c$，两者差着 $(x+1)(x+2)(x+3)$ 在 $x=0$ 处的值 $6$，四个选项等的就是这一步。