两个方程实根个数的可能配对

题型说明

• 常见问法：「记 $S$、$T$ 分别是 $f(x)=0$、$g(x)=0$ 的实根集合，下列结论不可能的是」，四个选项各给一对个数。
• 两个方程一定不是随便凑的：$g$ 往往由 $f$ 经过一个可逆的自变量替换得到（系数反序 $\Leftrightarrow$ 取倒数、$x\mapsto -x$、$x\mapsto x+t$ 等）。先找这个替换，两组根之间就会冒出一个双射。
• 有了双射，个数关系立刻变成一条不等式或等式，拿它去刷选项：违反的那一个就是「不可能」。
• 三个「可能」的选项则要各给一组具体参数当场兑现，光说「大概行」不算数。

常见陷阱

• 只做单向验证：找到一组参数实现了 A、B、C，就默认 D 一定不行。选择题语境下可以这样答，但要写明「四选一且恰有一个不可能」这个前提，否则论证是空的。
• 替换在某个点上失效（最常见的是取倒数在 $x=0$ 处），漏了这个例外，个数关系就会写成「相等」而不是「差一个」。
• 把「根的个数」与「根的重数」混为一谈：集合的元素个数不计重数，$(x-1)^{2}=0$ 只贡献一个元素。
• 参数使方程降次：如三次项系数为 $0$ 时方程其实是二次的，实根个数的上限跟着变。