函数零点存在定理

教材原文

函数零点存在定理 如果函数 $y = f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 $f(a)f(b) < 0$，那么，函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内至少有一个零点，即存在 $c \in (a, b)$，使得 $f(c) = 0$，这个 $c$ 也就是方程 $f(x) = 0$ 的解.

它把什么换成了什么

要证「方程 $f(x)=0$ 有解」，正面做法是把解求出来——可 $e^{x}-x-a=0$、$\ln x+2x-6=0$ 这类方程没有公式解，正面这条路是死的。这条定理把「有没有解」换成了算两个数的符号：找一个 $a$ 让 $f(a)<0$、找一个 $b$ 让 $f(b)>0$，解就一定夹在中间。

代价是：它只说有，不说在哪、也不说有几个。

用它的三步

1. 说连续（初等函数在其定义域上连续，一句话带过即可，但不能不写）；
2. 找一对异号的端点——这一步是这类题里唯一需要动脑的地方，见下节；
3. 下结论：$(a,b)$ 内至少有一个零点。

端点怎么挑：挑「符号一眼可判」的那个

端点不必是题目给的区间端点，你自己挑。挑的准则不是「靠近零点」，而是代进去符号立刻看得出来：

• 挑 $x=0$：指数项变 $1$，$f(0)$ 通常只剩常数。
• 挑参数本身（$x=a$）：常能把参数消掉一大半。
• 挑一个能整体放缩的数：$f(2)=e^{2}-2-a\geqslant e^{2}-4>0$——这里用的是参数范围（$a\leqslant2$）把带参的式子压成一个不带参的正数。含参题里的端点值不需要算准，只需要定号。

第三条是含参题的常规操作：端点值仍带着参数时，不要慌，用参数的取值范围把它放到一个定号的常数上去。

「至少一个」升级成「恰好一个」

定理本身给不出唯一性。要唯一，标准做法是配上严格单调：

单调通常由导数定号得到（$f'>0$ 恒成立）。写解答时这两句缺一不可：只写单调证不出存在（$e^{x}+1$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格增却没有零点），只写异号证不出唯一。

反过来不成立

$f(a)f(b)>0$ 推不出「$(a,b)$ 内没有零点」——$f(x)=x^{2}-1$ 在 $[-2,2]$ 上两端同号，里面却有两个零点。这条定理是单向的：它是零点存在的充分条件，不是必要条件。所以「端点同号 ⟹ 无解」这句话是错的，别拿它去排除区间。