浙江 2010 · 数学 q09

冷启动：这道题问的是「没有」

四个选项是四段长度都为 $2$ 的区间，问的是 $f(x)=4\sin(2x+1)-x$ 在哪一段上不存在零点。三句话先把局面理清。

第一句：零点就是两条线的交点。 把 $f(x)=0$ 拆开：

$$4\sin(2x+1)=x .$$

左边是一条正弦曲线，右边是一条直线。「$f$ 在某段上有没有零点」就是「这两条线在那段上交不交」——原卷那句「转化为 $g(x)=4\sin(2x+1)$ 与 $h(x)=x$ 的交点」说的正是这件事。

第二句：战场只有 $[-4,4]$。 因为 $\lvert4\sin(2x+1)\rvert\leqslant4$，任何交点都得满足 $\lvert x\rvert\leqslant4$。四个选项拼起来恰好就是 $[-4,4]$，一段不多一段不少——出题人把整个战场切成了四块。

第三句：问「没有」比问「有」难一个量级。 要说某段上有零点，指出一对异号的点就够了（函数零点存在定理）；要说某段上没有，得对整段负责：证明 $f$ 在那一整段上恒正或恒负。

这一句决定了本题的所有陷阱。只算八个端点值是最省事的做法，可它给不出「没有」——更糟的是，它连「有」都会漏掉：

$$f(-2)>0,\quad f(0)>0 \quad\text{（B 段两端同号）},\qquad f(2)<0,\quad f(4)<0 \quad\text{（D 段两端同号）},$$

而 B、D 两段里各有两个零点。端点同号的区间共有三段（A、B、D），只有一段是真的空的。

解法一：原卷路线——把零点看成两条线的交点，逐段数

画出来。 正弦曲线 $y=4\sin(2x+1)$ 的振幅是 $4$、周期是 $\dfrac{2\pi}{2}=\pi$；直线 $y=x$ 从左下到右上斜穿过去，在 $x=\pm4$ 处正好碰到曲线的上下界。一个周期不到 $3.15$，$[-4,4]$ 上装得下两个半周期，于是曲线有三个波峰、两个波谷落在这段里。

逐段数交点。 曲线快、直线慢，每一段里数一遍：

• $[-4,-2]$：曲线从 $x=-4$ 处的低位一路爬到波峰再落下来，整条都在直线上方——$0$ 个交点；
• $[-2,0]$：曲线俯冲进波谷再抬头，穿过直线两次——$2$ 个；
• $[0,2]$：曲线从波峰一路下到波谷，穿过一次——$1$ 个；
• $[2,4]$：曲线抬到波峰再落，又穿了两次——$2$ 个。

合计 $5$ 个交点，全落在 $[-2,4]$ 里。答案 A。

图上要读准的是哪一段「整条在上方」。 这不是眼力活，$[-4,-2]$ 这一段可以就地算清楚：

在这段上直线满足 $y=x\leqslant-2$。要与曲线相交，就得有

$$4\sin(2x+1)\leqslant-2 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin(2x+1)\leqslant-\frac{1}{2} .$$

记 $u=2x+1$，则 $x\in[-4,-2]$ 对应 $u\in[-7,-3]$。在这一段上 $\sin u=-\dfrac12$ 只有一个解 $u=-2\pi-\dfrac{\pi}{6}\approx-6.81$，而 $\sin(-7)<-\dfrac12<\sin(-3)$，所以

$$\sin u\leqslant-\frac{1}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad u\in\left[-7,\ -2\pi-\tfrac{\pi}{6}\right] \quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left[-4,\ -\pi-\tfrac{\pi}{12}-\tfrac12\right] .$$

这一小段的右端约是 $-3.90$。也就是说，只有 $x\in[-4,-3.90]$ 这窄窄一条上，曲线才低到有资格去够直线。 可在那里直线已经低到 $y=x\leqslant-3.90$，而曲线

$$4\sin(2x+1)\geqslant4\sin(-7)=-4\sin7>-4\cdot\frac{\sqrt2}{2}=-2\sqrt2\approx-2.83$$

（用到 $7-2\pi\approx0.72<\dfrac{\pi}{4}$，而 $\sin$ 在 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 上递增，故 $\sin7<\dfrac{\sqrt2}{2}$）。

$-2.83>-3.90$，曲线仍在直线上方。这一段上两条线一次都碰不到。

解法二：只封 $[-4,-2]$ 一段——唯一的驻点是极大，最小值只能在端点

怎么想到的。 选择题只要求指认那一段「没有」，那就干脆只对这一段负责：证明 $f$ 在 $[-4,-2]$ 上恒正。要证恒正，最省事的是把最小值找出来——而最小值只可能落在端点或驻点上。

先看导数。

$$f'(x)=8\cos(2x+1)-1 .$$

$f'(x)=0$ 即 $\cos(2x+1)=\dfrac18$。仍记 $u=2x+1\in[-7,-3]$，即 $\cos u=\dfrac18$。

$\cos u$ 在 $[-7,-3]$ 上的走法是确定的：$u$ 从 $-7$ 增到 $-2\pi$ 时 $\cos u$ 从 $\cos7\approx0.75$ 升到 $1$，再从 $-2\pi$ 增到 $-\pi$ 时从 $1$ 降到 $-1$，最后从 $-\pi$ 增到 $-3$ 时从 $-1$ 升到 $\cos3\approx-0.99$。$\dfrac18$ 只在第二段（下降段）上被穿过一次：

$$u_{0}=-2\pi+\arccos\tfrac18\approx-4.84 \quad\Longrightarrow\quad x_{0}=\frac{u_{0}-1}{2}\approx-2.92 .$$

所以 $f$ 在 $[-4,-2]$ 上只有一个驻点。 而且 $f'$ 在 $x_{0}$ 左边为正、右边为负（$\cos u$ 在下降段上穿过 $\frac18$），所以 $x_{0}$ 是极大值点，$f$ 在这一段上是先增后减。

先增后减的函数，最小值一定在端点。 于是只需算两个数：

$$f(-4)=4\sin(-7)+4=4\left(1-\sin7\right)>0 \qquad(\sin7<1) ,$$ $$f(-2)=4\sin(-3)+2=2-4\sin3>0 \qquad\left(\sin3=\sin(\pi-3)<\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12\right) ,$$

最后那一步用的是 $0<\pi-3<0.15<\dfrac{\pi}{6}$ 与 $\sin$ 在 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 上递增。

两个端点都是正的，故

$$\min_{[-4,-2]}f=\min\left\{f(-4),\ f(-2)\right\}>0 ,$$

$f$ 在整段上恒正，一个零点都没有。答案 A。

这条路多给了什么。 它把「两端同号」从一句没用的话变成了一句有用的话：同号本身不说明任何事，但配上「中间只有一个驻点且是极大」，它就顶得上一句「整段恒正」。 缺的那半句正是这道题的全部难度所在。

解法三：排除法——只在波峰波谷上取样，把另外三段一一证伪

怎么想到的。 这是选择题，四段里只有一段没有零点。与其正面去证「A 段空着」（那是最难的一头），不如把另外三段一一证伪：每段里指出一对异号的点，由函数零点存在定理，那一段就有零点、当场出局。三段出局，剩下的只能是 A。

取样点选在波峰波谷上。 $f(x)=4\sin(2x+1)-x$ 里有两项：一项在 $-4$ 与 $4$ 之间来回晃，一项老老实实随 $x$ 走。若把取样点选在正弦的波峰或波谷上，晃的那一项就被钉死成 $\pm4$，$f$ 的符号只剩下 $-x$ 说了算：

$$\text{波峰处}\quad f=4-x ,\qquad \text{波谷处}\quad f=-4-x .$$

一个三角函数值都不用算。波峰在 $2x+1=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$，即 $x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac12+k\pi$；波谷在 $x=-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac12+k\pi$。

（B）$[-2,0]$ 出局。 这一段里有一个波谷

$$x=-\frac{\pi}{4}-\frac12\approx-1.29\in(-2,0) ,\qquad f=-4-x=\frac{\pi}{4}-\frac72<0$$

（$\dfrac{\pi}{4}<1<\dfrac72$）。另一头取左端点：

$$f(-2)=4\sin(-3)+2=2-4\sin3>0 ,$$

因为 $\sin3=\sin(\pi-3)$ 而 $0<\pi-3<0.15<\dfrac{\pi}{6}$，$\sin$ 在 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 上递增，故 $\sin3<\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$。

一正一负，零点落在 $\left(-2,\ -\dfrac{\pi}{4}-\dfrac12\right)\subset[-2,0]$ 里。

（C）$[0,2]$ 出局。 这一段里波峰波谷各有一个：

$$x=\frac{\pi}{4}-\frac12\approx0.29 ,\quad f=4-x=\frac92-\frac{\pi}{4}>0 ; \qquad x=\frac{3\pi}{4}-\frac12\approx1.86 ,\quad f=-4-x=-\frac72-\frac{3\pi}{4}<0 .$$

零点落在 $\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac12,\ \dfrac{3\pi}{4}-\dfrac12\right)\subset[0,2]$ 里。

（D）$[2,4]$ 出局。 这一段里有一个波峰

$$x=\frac{5\pi}{4}-\frac12\approx3.43 ,\qquad f=4-x=\frac92-\frac{5\pi}{4}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \pi<3.6 ,$$

右端点则是

$$f(4)=4\sin9-4<0$$

（$9\neq\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$，故 $\sin9<1$）。零点落在 $\left(\dfrac{5\pi}{4}-\dfrac12,\ 4\right)\subset[2,4]$ 里。

三段全部出局，答案只能是 A。 三个夹零点的小区间各自完整地落在自己那一段内部，不跨段，所以这三条结论互不干扰。

这条路诚实的边界在哪。 它没有证明 A 段真的空着——零点存在定理只给「至少有一个」，从来给不出「一个都没有」。它证的是「另外三段都不空」，再靠题目「四段里恰有一段不存在零点」把 A 顶出来。考场上这就够了，也最快；但若题目改成填空题「写出 $f$ 在 $[-4,-2]$ 上零点的个数」，这条路一个字都答不出来，得回到解法一的估界或解法二的导数。

顺带一个容易记反的观察。 「波谷处 $f<0$」为真，但反过来不成立：$f$ 取负的地方远不止波谷——上面那个 $f(4)<0$ 就不在波谷上。取样法给的是若干个符号确定的点，不是对整段符号的判断，这正是它与解法二的分工所在。