端点同号就断定区间里没有零点

零点存在定理说的是：图象连续且 $f(a)f(b)<0$，则 $(a,b)$ 内至少有一个零点。

把它反过来用就成了坑：算了两个端点，发现 $f(a)$ 与 $f(b)$ 同号，于是断定「这段里没有零点」。

定理没这么说。 它是一张单向的票：异号 $\Rightarrow$ 有零点。同号时它一句话都没说——区间里可能一个零点都没有，也可能有两个、四个……凡是偶数个都能让两端同号。

最短的反例

$f(x)=x^{2}-1$ 在 $[-2,2]$ 上：$f(-2)=f(2)=3>0$，两端同号，可 $-1$ 与 $1$ 都是零点。

把抛物线换成一段上下起伏的曲线，这种「同号却有零点」的区间可以随手造出无穷多个。

同号时该做什么

同号只说明「端点这一对没给出结论」，要下结论必须换一种工具：

• 想证有零点：在区间内部再找一个点，让它与某个端点异号——一个点就够，定理立刻生效；
• 想证没有零点：这才是真正要花力气的一头。得证明 $f$ 在整段上恒正或恒负，常用的两条路是
  • 用导数定出单调性与驻点，把最值锁在端点或唯一的驻点上，再验那个最值的符号；
  • 或把 $f=g-h$ 拆成两条曲线，证明其中一条在整段上都压在另一条之上（估界：$\lvert\sin\rvert\leqslant1$ 这类）。

「端点同号」与「没有零点」之间，永远隔着一段要自己补的论证。

考场上的样子

选择题问「下列区间中函数不存在零点的是」时，四个选项里往往故意安排若干个两端同号却含着零点的区间。只算八个端点值就选，正中下怀：算出同号的那两三个区间，恰恰是出题人留的陷阱，而真正无零点的那个区间还得靠估界或单调性证出来。