4.5 函数的应用（二）

第 3 章的”函数的应用（一）“学的是建模型：把现实问题翻译成函数。这一节（函数的应用（二））补上两个更深入的工具：怎么求方程的解（很多方程没有公式解，只能求近似解——二分法）和怎么用模型（4.5.3 的实例）。本节页面只含 §4.5.1 的开头：零点的概念与零点存在定理——这是后面二分法的地基。

学完这一节，你要能：说清”方程的解、函数的零点、图象与 x 轴的交点”三件事为什么是一回事，会用零点存在定理判断零点存在，并知道”至少一个”与”恰有一个”的差别在哪。

一、零点的定义：三句话说的是一件事

对于函数 $y = f(x)$，使 $f(x) = 0$ 的实数 $x$ 叫做函数 $y = f(x)$ 的零点。注意：零点是数（自变量取值），不是点！

三种说法严格等价：

$$\text{方程 } f(x) = 0 \text{ 有实数解} \iff \text{函数 } y = f(x) \text{ 有零点} \iff \text{函数 } y = f(x) \text{ 的图象与 } x \text{ 轴有公共点}.$$

零点的三个身份可以随时切换：求方程的解 ⟺ 找函数零点 ⟺ 看图象与 $x$ 轴的交点横坐标。这一章（以及后面二分法、4.5.3）的基本策略就是：解不出来的方程，放到函数上研究。

二、零点存在定理：连续 + 异号 ⟹ 至少一个零点

课本从二次函数 $f(x) = x^2 - 2x - 3$ 出发（图 4.5-1）：它在 $[2, 4]$ 上有零点 $x = 3$，且 $f(2)f(4) < 0$；在 $[-2, 0]$ 上有零点 $x = -1$，且 $f(-2)f(0) < 0$——零点附近图象连续不断且”穿过” $x$ 轴，端点函数值异号。概括成定理：

函数零点存在定理：如果函数 $y = f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 $f(a)f(b) < 0$，那么函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内至少有一个零点，即存在 $c \in (a, b)$ 使得 $f(c) = 0$。

两个前提缺一不可：

1. 连续：图象有间断就不保证——比如 $y = \frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 上 $f(-1)f(1) = -1 < 0$，但图象在 $x = 0$ 处断裂，$( -1, 1)$ 内没有零点；
2. $f(a)f(b) < 0$：端点同号也可能有零点（如 $f(x) = x^2$ 在 $[-1, 1]$ 上 $f(-1)f(1) = 1 > 0$，却有零点 $x = 0$）——异号是充分条件，不是必要条件。

三、例 1：ln x + 2x - 6 = 0 有几个实数解？

这是本小节的核心例题，两个步骤缺一不可：

第一步（存在性）：设 $f(x) = \ln x + 2x - 6$，算 $f(2) = \ln 2 + 4 - 6 \approx 0.693 - 2 < 0$，$f(3) = \ln 3 + 6 - 6 = \ln 3 > 0$。$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续且 $f(2)f(3) < 0$，由零点存在定理，至少有一个零点在 $(2, 3)$ 内。

第二步（唯一性）：函数 $f(x) = \ln x + 2x - 6$ 在 $(0, +\infty)$ 上是增函数（$\ln x$ 增、$2x - 6$ 增，增 + 增 = 增；或用导数 $f'(x) = \frac1x + 2 > 0$）。增函数的图象最多穿过 $x$ 轴一次，所以它只有一个零点。

结论：方程 $\ln x + 2x - 6 = 0$ 在 $(0, +\infty)$ 上有且仅有一个实数解。

四、“至少一个”不是”恰有一个”——唯一性必须单独证

课本第 151 页开头用”?”标出了一个关键问题：为什么由图和 $f(2)f(3) < 0$ 还不能说明函数只有一个零点？ 答案：零点存在定理只保证”至少一个”，图象上”看起来只有一个”不算数——换个范围看可能还有别的零点（4.5.1 练习第 1 题的三张图就是活例：同一函数在小范围里才看到 3 个交点）。要断言唯一，必须另有依据——本题用的是单调性（增函数至多穿过 $x$ 轴一次）。这是高考解答题的标准结构：先存在（定理），后唯一（单调）。

五、番外：「在这几个点取同一个值」也是零点问题（考过）

零点的定义把那个值写死成了 $0$。可题目给的常常是另一个数，甚至是一个还不知道的数：

已知 $f(-1)=f(-2)=f(-3)$。

这句话表面上和零点没关系。但只要给那个公共值起个名字 $k$，令

$$g(x)=f(x)-k ,$$

马上就有 $g(-1)=g(-2)=g(-3)=0$——$-1$、$-2$、$-3$ 是 $g$ 的三个零点。「在这几个点取同一个值」被翻译成了「零点」。

这步翻译为什么值钱？因为零点能反过来把函数写出来。对多项式来说：

$n$ 次多项式若有 $n$ 个互不相同的零点 $r_{1},\dots,r_{n}$，那么它必定是 $g(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots(x-r_{n}) ,$ 其中 $a$ 是最高次项的系数。$a$ 已知时，连比例常数都不用配。

于是「$f$ 在三个点取同一个值」这一句话，就把 $f$ 的形状钉死到只剩一个上下平移量。

2014 年浙江卷第 6 题就是这样一道：已知 $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$，且 $0<f(-1)=f(-2)=f(-3)\leqslant 3$，问 $c$ 的取值范围。

1. 设 $k=f(-1)=f(-2)=f(-3)$。$f(x)-k$ 是三次、首项系数为 $1$、以 $-1,-2,-3$ 为零点，于是 $f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)+k .$ $a$、$b$ 从头到尾没露过面（想验就展开：$a=6$、$b=11$）。
2. $c$ 是常数项，也就是 $f(0)$：$c=1\times 2\times 3+k=6+k$。
3. 由 $0<k\leqslant 3$ 得 $6<c\leqslant 9$。

这道题真正的坑不在零点，在最后那一步：受限制的是 $k$，要求的是 $c$，两者差着三个零点的乘积 $6$。把 $0<k\leqslant 3$ 直接抄到 $c$ 上，答案就整段搬到了另一个选项——四个选项恰好是同一段区间平移 $0$、$3$、$6$、$9$ 的结果，等的就是这一步。

记住这条翻译：「取同一个值」→ 减掉它 → 零点 → 因式分解。 它比零点存在定理还常用，因为它一个函数值都不用算。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。零点是高考的高频考点：判断函数零点个数（分区间用定理 + 单调性证唯一）、零点所在区间（算端点函数值看异号）、零点存在定理与图象结合的选填题。做题套路固定：先看连续性，再算 $f(a)f(b)$ 的符号，需要唯一性时检查单调性。但清单里还有一类不走定理的题——上面第五节讲的 2014 年浙江卷第 6 题就是：它一个函数值都不用算，只把「三点取同一个值」翻译成零点，再因式分解。看到「零点」两个字先别急着找异号区间，先问一句这道题要的是「有没有零点」还是「零点在哪」——前者用定理，后者往往用因式分解。

七、怎么读这一节

1. 背下零点的三个等价身份——“求方程解 ⟺ 找零点 ⟺ 找图象与 $x$ 轴交点”，后面二分法每一步都建立在这个等价上；
2. 亲手验证零点存在定理的两条前提：举一个”连续但同号”的例子（$x^2$）和一个”异号但不连续”的例子（$\frac1x$），两条都缺不得；
3. 独立完成例 1 的两步：算 $f(2)$、$f(3)$ 得存在性，用”增 + 增 = 增”证唯一性；
4. 想一想 p151 的”?”问题：为什么 $f(2)f(3) < 0$ 不能推出只有一个零点——想通了，本节就完了。
5. 把第五节那条翻译练一遍：随手写一个三次式，指定三个点让它取同一个值，看看能不能一步写出它的因式分解式——这条在选填题里比定理更常用。

§4.5.1 的两道「练习」打印在第 151 页（§4.5.2 的页面）上，与 §4.5.2 的练习一起在下一节详解。下一节 4.5.2 二分法：有了零点存在定理，就可以”把零点所在区间一分为二”，一步步逼近真解。