浙江 2018 · 数学 q15

题面

15. 已知 $\lambda \in \mathbb{R}$, 函数 $f(x) = \begin{cases} x - 4, & x \geq \lambda \\ x^2 - 4x + 3, & x < \lambda \end{cases}$, 当 $\lambda = 2$ 时, 不等式 $f(x) < 0$ 的解集是 ____. 若函数 $f(x)$ 恰有 2 个零点, 则 $\lambda$ 的取值范围是 ____.

答案

$\{x\mid1<x<4\}$ ; $(1,3]\cup(4,+\infty)$

解析

分析

利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可.

解答

解：当 $\lambda = 2$ 时函数 $f(x) = \begin{cases} x - 4, & x \geqslant 2 \\ x^2 - 4x + 3, & x < 2 \end{cases}$，显然 $x \geqslant 2$ 时，不等式 $x - 4 < 0$ 的解集：$\{x \mid 2 \leqslant x < 4\}$；$x < 2$ 时，不等式 $f(x) < 0$ 化为：$x^2 - 4x + 3 < 0$，解得 $1 < x < 2$，综上，不等式的解集为：$\{x \mid 1 < x < 4\}$.

函数 $f(x)$ 恰有2个零点，

函数 $f(x) = \begin{cases} x - 4, & x \geqslant \lambda \\ x^{2} - 4x + 3, & x < \lambda \end{cases}$ 的草图如图：

函数 $f(x)$ 恰有 2 个零点，则 $1 < \lambda \leqslant 3$ 或 $\lambda > 4$.

故答案为： $\{x\mid1<x<4\}$ ; $(1,3]\cup(4,+\infty)$ .