浙江 2018 · 数学 q15

冷启动：两段各管自己的 $x$

二次那段是 $(x-1)(x-3)$，开口向上，与 $x$ 轴交于 $1$、$3$，顶点 $(2,-1)$。一次那段是过 $(4,0)$ 的直线。$\lambda$ 是分界：它左边只用抛物线，它右边（含 $\lambda$）只用直线。两段在 $x=\lambda$ 处一般接不上——$\lambda^{2}-4\lambda+3=\lambda-4$ 化成 $\lambda^{2}-5\lambda+7=0$，判别式 $25-28<0$，永远有跳跃。

第一空把 $\lambda$ 钉成 $2$，求 $f(x)<0$；第二空让 $f$ 恰有两个零点，反求 $\lambda$。

解法一：分段解不等式，再用图象读 $\lambda$

怎么想到的。 分段函数上的不等式和零点，都只能在各自的定义域里解。第一空 $\lambda$ 已经给定，逐段解再取并。第二空把两条曲线都画出来，$\lambda$ 相当于一把竖刀，刀左边留抛物线、右边留直线，看还剩几个与 $x$ 轴的交点。

① 第一空，$\lambda=2$。

• $x\ge 2$ 用 $x-4<0$，得 $2\le x<4$。
• $x<2$ 用 $(x-1)(x-3)<0$，得 $1<x<3$，再与 $x<2$ 取交，得 $1<x<2$。

并起来是 $1<x<4$，即 $\{x\mid 1<x<4\}$。

② 第二空，先标出三条曲线各自的零点。 抛物线的零点是 $1$、$3$；直线的零点是 $4$。因为永远有跳跃，$x=\lambda$ 不会额外造出新的零点（直线在 $\lambda$ 处为零只当 $\lambda=4$，那时 $4$ 本来就是直线的零点）。所以 $f$ 的零点只可能是这三个数里、落在对应那段里的那些：

• $1$ 算进去 $\iff 1<\lambda$（它得在抛物线那一段）；
• $3$ 算进去 $\iff 3<\lambda$；
• $4$ 算进去 $\iff 4\ge\lambda$（它得在直线那一段）。

画图看：$\lambda$ 从左往右扫。

• $\lambda\le 1$：抛物线那段还没扫到 $1$，只留下直线的 $4$，一个零点。
• $1<\lambda\le 3$：留下 $1$ 和 $4$。$\lambda=3$ 时 $3$ 已经改归直线，$f(3)=3-4=-1\neq 0$，所以 $3$ 不算，仍是两个。
• $3<\lambda\le 4$：三个都在，三个零点。
• $\lambda>4$：直线那段够不着 $4$，$f(4)=(4-1)(4-3)=3\neq 0$，只留下 $1$ 和 $3$，两个零点。

恰有两个零点：$\lambda\in(1,3]\cup(4,+\infty)$。

解法二：三个候选零点按 $\lambda$ 分段计数

怎么想到的。 不想靠图扫 $\lambda$ 时，把「$1$、$3$、$4$ 谁还在」写成三个指示条件，按 $\lambda$ 相对于 $1$、$3$、$4$ 的位置切开，每一段数有几个 $1$。

仍由定义：抛物线零点 $1$、$3$ 要满足 $<\lambda$，直线零点 $4$ 要满足 $\ge\lambda$。没有别的零点（两段都是二次或一次，根就这些；跳跃不新增根）。

记零点个数 $N(\lambda)=\mathbf{1}_{1<\lambda}+\mathbf{1}_{3<\lambda}+\mathbf{1}_{\lambda\le 4}$。用 $1$、$3$、$4$ 把 $\lambda$ 的取值切成四段，每段 $N$ 是常数：

$N=2$ 的是 $(1,3]\cup(4,+\infty)$。

第一空与解法一同一套分段：$\lambda=2$ 时 $x\ge 2$ 得 $2\le x<4$，$x<2$ 得 $1<x<2$，并成 $\{x\mid 1<x<4\}$。

所以两空是 $\{x\mid 1<x<4\}$ 与 $(1,3]\cup(4,+\infty)$。

![教学图：上块是 λ=2 时的分段图象，f<0 标成开区间 (1,4)（端点空心）；分界 x=2 左空心、右实心。下块是抛物线 x²−4x+3 与直线 x−4，零点 1、3、4。λ 在 (1,3]∪(4,+∞) 时恰留两个零点](./q15-figure.png)