系数反序的多项式根互为倒数

什么时候想到它

题面同时摆出两个多项式，而且系数表长得像照镜子——一个是 $a_{0},a_{1},\dots,a_{n}$，另一个是 $a_{n},\dots,a_{1},a_{0}$。最典型的伪装是把因式写成一对：

每个因式里「常数项」与「最高次系数」互换了位置。看见这种成对出现，先别急着解方程——把两边展开对一眼系数，往往一句话就把两组根绑死。

解题套路

1. 展开对系数。$f(x)=a_{n}x^{n}+\dots+a_{1}x+a_{0}$，逐项算 $g$ 的系数，确认它就是 $a_{0}x^{n}+\dots+a_{n-1}x+a_{n}$。

2. 写成恒等式。反序等价于

   $$g(x)=x^{n}f\!\left(\frac{1}{x}\right)\qquad(x\neq 0)$$

   （右边把 $\frac{1}{x}$ 代进 $f$ 再乘 $x^{n}$，正好把每一项的次数翻个个儿。）

3. 翻译成根的对应。对 $x\neq 0$，$x^{n}\neq 0$，于是

   $$g(x)=0\iff f\!\left(\frac{1}{x}\right)=0$$

   即 $x$ 是 $g$ 的根 $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{x}$ 是 $f$ 的根。$x\mapsto\frac{1}{x}$ 是自己的逆映射，所以这是一一对应，不重不漏。

4. 单独处理 $0$。$g(0)=a_{0}$：$f$ 的常数项非零时 $0$ 不是 $g$ 的根，此时两边非零根一一配对；若 $f$ 有根 $0$（即 $a_{0}=0$），这个根在 $g$ 里没有对家，$g$ 的次数还会掉下来。

5. 得个数关系。记 $S$、$T$ 为两者的实根集，则

   $$|T|=|S|-[\,0\in S\,]\ \leq\ |S|$$

为什么这一招管用

解三次方程要判别式、要分类，而「根互为倒数」只用到一条代数恒等式，与 $a,b,c$ 具体取什么值无关。凡是问「两组根的个数能不能这样搭配」的题，个数是拓扑级别的粗信息，用一个双射一句话就锁死了；真去解方程反而被参数拖进无穷分类。

一句话：系数反序 = 自变量取倒数。这条对应对复根同样成立（复根也是成对取倒数），所以它比「实根个数」这一个用法更普适。

常见失手

• 忘了 $x\neq 0$。恒等式 $g(x)=x^{n}f(1/x)$ 只在 $x\neq0$ 上说得通，$0$ 必须单拎出来验 $g(0)=a_{0}$。
• 以为个数一定相等。$|T|=|S|$ 只在 $0\notin S$ 时成立；$0\in S$ 时 $T$ 比 $S$ 少一个，这一格差正是许多题的题眼。
• 把「反序」看成「反号」。系数反序是位置对调，不是符号取反；$x^{2}-3x+2$ 反序是 $2x^{2}-3x+1$，不是 $x^{2}+3x-2$。
• 重根的重数也会跟着搬家，但如果题目只问「互不相同的实根个数」，就只需数集合的元素个数，不必追重数。