浙江 2014 · 数学 q02

冷启动：这类题的动作是固定的

题面把两句话摆在一起，问前一句是后一句的什么条件：

$$p:\ a=b=1 ,\qquad q:\ (a+bi)^{2}=2i \qquad (a,b\in\mathbf{R}) .$$

四个选项恰好是 $p\Rightarrow q$ 与 $q\Rightarrow p$ 这两个方向的四种真假组合， 所以动作是固定的：两个方向各判一次，再对号入座。判「成立」要给推理， 判「不成立」只需要举出一个反例。

这道题的两个方向难度差得很远：

• 正向（$p\Rightarrow q$）：$a$、$b$ 已经被钉死成 $1$，代进去算一次就完；
• 反向（$q\Rightarrow p$）：$a$、$b$ 是未知的，要问「满足 $q$ 的 $(a,b)$ 只有 $(1,1)$ 吗」。

反向那一步就是全题的胜负手。它有两种做法：把方程组老老实实解干净（解法一）， 或者干脆不解：注意到 $z$ 与 $-z$ 的平方相同， 把正向已经验过的那个根取个相反数，反例就现成地摆在那里（解法二）。

解法一：两个方向各判一次，反向老老实实解方程组

第一步：正向，一次代入

$a=b=1$ 时 $a+bi=1+i$，于是

$$(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=1+2i-1=2i .$$

$p\Rightarrow q$ 成立，$p$ 是 $q$ 的充分条件。

第二步：反向，把 $q$ 展开成一个实数方程组

反过来设 $(a+bi)^{2}=2i$，其中 $a,b\in\mathbf{R}$。左边展开：

$$(a+bi)^{2}=a^{2}+2abi+(bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+2ab\,i .$$

右边 $2i$ 的实部是 $0$、虚部是 $2$。两个复数相等当且仅当实部与虚部分别相等，于是

$$\begin{cases} a^{2}-b^{2}=0 ,\\[2pt] 2ab=2 . \end{cases}$$

这一步是全题唯一用到复数的地方：把一个复数方程换成两个实数方程。 换完之后就是纯粹的解方程组了。

第三步：解这个方程组

第二式给出 $ab=1>0$，所以 $a$ 与 $b$ 同号。 第一式给出 $a^{2}=b^{2}$，即 $|a|=|b|$。同号加上等模，只能是 $a=b$ （若 $a=-b$，则 $ab=-a^{2}\leq 0$，与 $ab=1$ 矛盾）。

代回第二式：$2a^{2}=2$，$a^{2}=1$，$a=\pm 1$。于是

$$(a,b)=(1,1)\quad\text{或}\quad(a,b)=(-1,-1) .$$

满足 $q$ 的有两组，$p$ 只指定了其中一组。 所以 $q\Rightarrow p$ 不成立。

第四步：对号入座

正向成立、反向不成立，按定义就是：$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

$$\boxed{\text{选 A}}$$

用集合的语言说更直观——把两个条件各自的解集写出来：

$$P=\{(1,1)\} ,\qquad Q=\{(1,1),\,(-1,-1)\} ,\qquad P\subsetneq Q .$$

小的那一边是充分条件，大的那一边是必要条件。 这里 $P$ 真包含于 $Q$， 所以 $p$ 充分而不必要，一个字都不会说反。

解法二：反向不解方程，把验过的那个根取相反数

第一步：正向照旧

还是那一次代入：$(1+i)^{2}=2i$。充分性成立。

但这一步顺手留下了一件东西——一个已经验证过的、满足 $q$ 的复数 $1+i$。

第二步：反例是现成的

任何复数 $z$ 都满足

$$(-z)^{2}=(-1)^{2}z^{2}=z^{2} .$$

一个数和它的相反数平方相同。 既然 $1+i$ 的平方是 $2i$，那么 $-(1+i)=-1-i$ 的平方也是 $2i$。 把它写回 $a+bi$ 的形式：$a=-1$，$b=-1$。这一组

• 满足 $q$：$(-1-i)^{2}=2i$ ✓
• 不满足 $p$：$a=b=-1\neq 1$ ✗

这就是一个反例，$q\Rightarrow p$ 当场垮掉。 反向不成立，加上第一步的正向成立，选 A。

$$\boxed{\text{选 A}}$$

为什么一个反例就够

「$q\Rightarrow p$」是一句全称论断：所有满足 $q$ 的 $(a,b)$ 都满足 $p$。 要否掉全称论断，造一个满足全部前提、却使结论失败的实例就够了，不必知道满足 $q$ 的还有哪些。

这里甚至连「造」都省了：反例是从已经算过的那个正例免费长出来的。 解法一花在第三步的全部力气——同号、等模、$a=b$、$a^{2}=1$——都是在求一个我们并不需要的东西： 满足 $q$ 的完整解集。判必要性不需要完整解集，只需要「除了 $(1,1)$ 还有别的」。

这条路的一般形

值得记住的不是这道题，而是背后那一句：

在复数范围内，非零复数 $w$ 的平方根恰好有两个，互为相反数。

于是凡是形如「$z=z_{0}$」是「$z^{2}=w$」的什么条件的题，右边天然多出一个 $-z_{0}$， 答案多半是充分不必要。这只是一条预判，不能代替判断：正向那一次代入还是要算 （万一 $z_{0}^{2}\neq w$，连充分性都不成立），$z_{0}=-z_{0}$ 即 $z_{0}=0$ 的退化情形也要看一眼。 预判省下的是反向那一半——它告诉你别去解方程组，直接取相反数。

两条路怎么选

考场上当然走解法二。但解法一那第三步值得单独练一遍：由 $a^{2}=b^{2}$ 得到 $a=b$ 是需要理由的 （$a=-b$ 也满足 $a^{2}=b^{2}$），那个理由来自另一式 $ab=1>0$。 这种「两式联手才能定号」的小推理，在解析几何和三角里会反复出现。

一句话带走

判充分必要，两个方向要分开做，而且做法根本不对称： 判「成立」要一条完整的推理链，判「不成立」只要一个反例。 这道题的反例甚至不用另找——$q$ 里的平方号自带一对相反数， 看见平方就该想到「根是成对的」，右边那个条件天生比左边松。