浙江 2011 · 数学 q07

冷启动：难的不是「充分必要」四个字，是那两条带分母的不等式

题面把两个条件摆出来：

$$P:\ 0<ab<1 ,\qquad Q:\ a<\frac{1}{b}\ \ \text{或}\ \ b>\frac{1}{a} ,$$

问 $P$ 是 $Q$ 的什么条件。四个选项恰好是四种关系，所以真正要做的只有两件事：

1. $P\Rightarrow Q$ 成不成立——成立要给推理；
2. $Q\Rightarrow P$ 成不成立——不成立只需一个反例。

判断本身没有难度。难度全在第 1 步里那个动作：从 $0<ab<1$ 走到 $a<\dfrac{1}{b}$，中间要「除以 $b$」， 而 $b$ 的正负题目根本没说。

这题的全部陷阱就在这里。 把 $a<\dfrac{1}{b}$ 直接交叉相乘成 $ab<1$， 等于默认 $b>0$；$b<0$ 时它其实等价于 $ab>1$，方向是反的。 一步默认下去，$Q$ 的解集就少掉整整一半，答案会从 A 滑到 C。

还有一个容易被略过的字：$Q$ 里那个 「或」。它是并集，不是交集—— 两条不等式只要中一条，$Q$ 就成立。所以证 $P\Rightarrow Q$ 时不必两条都凑齐， 在哪种情形下更顺手，就去够哪一条。

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解法一：分正负两种情形正推，再补一个反例

充分性：$0<ab<1\Rightarrow Q$

先从 $ab>0$ 榨出一条关键信息：$a$、$b$ 同号，且都不为 $0$（否则乘积是 $0$）。 既然同号，就只有两种情形，分开处理：

情形一：$a>0$ 且 $b>0$。 把 $ab<1$ 两边同除以正数 $b$，不等号不翻：

$$ab<1 \ \Longrightarrow\ a<\frac{1}{b} .$$

$Q$ 的左半支命中。

情形二：$a<0$ 且 $b<0$。 把 $ab<1$ 两边同除以负数 $a$，不等号翻向：

$$ab<1 \ \Longrightarrow\ b>\frac{1}{a} .$$

$Q$ 的右半支命中。

两种情形各够着 $Q$ 的一条，而 $Q$ 是「或」——够着一条就够了。故

$$P\ \Longrightarrow\ Q .$$

注意这里同号是被 $ab>0$ 逼出来的，不是假设的；也正因为同号，两条式子的分母都不为 $0$，写得下去。

必要性：一个反例就够

取 $a=1$、$b=3$。先把它逐条验一遍：

• 它使 $Q$ 成立：$\dfrac{1}{a}=1$，而 $b=3>1$，右半支真，故 $Q$ 真。
• 它使 $P$ 不成立：$ab=3$，不在 $(0,1)$ 里，故 $P$ 假。

两半都验过了，这才算一个合格的反例。于是 $Q$ 推不出 $P$。

落子

$P\Rightarrow Q$ 而 $Q\not\Rightarrow P$，所以 $P$ 是 $Q$ 的充分而不必要条件，选 A。

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解法二：把 $Q$ 解全——两个解集摆在一起比包含

解法一只从 $P$ 这一侧往外推。这一条反过来：先把 $Q$ 到底是平面上哪一块彻底解出来， 再把 $P$ 那一块放上去比。好处是两个方向一次看完，不必分别处理。

第一步：一条一条移项通分

不要乘，要减。乘要看符号，减不用：

$$a<\frac{1}{b} \iff \frac{1}{b}-a>0 \iff \frac{1-ab}{b}>0 .$$

一个分式为正 $\iff$ 分子分母同号，于是

$$a<\frac{1}{b} \iff \bigl(b>0\ \text{且}\ ab<1\bigr)\ \text{或}\ \bigl(b<0\ \text{且}\ ab>1\bigr) .$$

同样地

$$b>\frac{1}{a} \iff \frac{ab-1}{a}>0 \iff \bigl(a>0\ \text{且}\ ab>1\bigr)\ \text{或}\ \bigl(a<0\ \text{且}\ ab<1\bigr) .$$

两条式子在 $b<0$ 与 $a<0$ 时都是反向的——这正是交叉相乘会丢掉的那一半。

第二步：把两块并起来，按象限列表

$Q$ 是两条的并集。四个开象限逐个填：

第三行两条同时成立并不奇怪：$a<0<b$ 时 $\dfrac{1}{b}>0>a$、$\dfrac{1}{a}<0<b$，两个不等式各自摆明了成立。 第四行反过来，$b<0<a$ 时两条都要求 $ab>1$，而那里 $ab<0$，双双落空。

（$a=0$ 或 $b=0$ 时相应的式子没有意义，另一支仍可能成立；但坐标轴上 $ab=0$，$P$ 本来就假， 这一带不影响任何一个方向的判断，故不列入表内。）

对照教学图：表里前两行的「$ab\neq 1$」就是第一、第三象限整块减去那条虚线， 第三行是整片第二象限，第四行是空白的第四象限——图上浅绿的形状与这张表逐格对得上。

第三步：把 $P$ 放上去比

$P$ 是 $0<ab<1$，其中 $ab>0$ 已经把它锁死在同号的那两块里，而那里 $ab<1$ 自然有 $ab\neq 1$：

$$P\ \subseteq\ \{\,ab>0\ \text{且}\ ab\neq 1\,\}\ \subseteq\ Q .$$

反过来不成立：整片第二象限都在 $Q$ 里（比如 $a=-1$、$b=1$），可那里 $ab<0$，$P$ 全假。 第一象限中 $ab>1$ 的部分（比如 $(1,3)$）也一样。所以

$$P\subsetneq Q ,$$

小范围推大范围，$P$ 充分而不必要，选 A。

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解法三：反证——假设两条都不成立，逼出 $a>0>b$

前两条都要分象限。这一条一个象限都不分：直接假设结论不成立，看能不能推出矛盾。

要证的是 $P\Rightarrow Q$。反设：存在实数 $a$、$b$，使得

$$0<ab<1 ,\qquad \text{而}\ Q\ \text{假} .$$

$ab>0$ 已保证 $a\neq 0$、$b\neq 0$，两个分式都有意义。$Q$ 是「或」，它假就是两条同时不成立：

$$a\geq\frac{1}{b} \qquad\text{且}\qquad b\leq\frac{1}{a} .$$

第一条逼出 $b<0$。 移项通分：

$$a-\frac{1}{b}\geq 0 \iff \frac{ab-1}{b}\geq 0 .$$

由 $ab<1$ 知分子 $ab-1<0$。一个分子为负的分式要 $\geq 0$，分母只能为负，故 $b<0$。

第二条逼出 $a>0$。 同样移项通分：

$$b-\frac{1}{a}\leq 0 \iff \frac{ab-1}{a}\leq 0 .$$

分子还是那个 $ab-1<0$。分子为负的分式要 $\leq 0$，分母只能为正，故 $a>0$。

撞车。 两条合起来给出 $a>0>b$，于是 $ab<0$——与题设的 $ab>0$ 正面冲突。 反设不成立，故 $P\Rightarrow Q$。$\blacksquare$

必要性那一半反证法帮不上忙（要否掉一个蕴含，反例是最短的路），仍用 $a=1$、$b=3$：$Q$ 真而 $P$ 假。

综上，选 A。

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三条路怎么选

• 考场上用解法一。 从 $ab>0$ 读出同号、分两种情形各除一次，四行写完，是本题的标准动作。
• 解法二值钱在别处。 它给出的是 $Q$ 的完整解集——一旦题目改成「求使 $Q$ 成立的 $a$、$b$ 的范围」， 或者把 $P$ 换成别的条件再问一次，这张表可以直接复用，而解法一得从头再推。
• 解法三最短，也最容易写漏一个字。 它的关键是把「$Q$ 假」翻译准：$Q$ 是「或」， 它的否定是「且」——两条同时不成立。这一步写成「或」，整条路当场作废。

三条路的落点完全一致，且都没有用到答案：$(1,3)$ 这个反例是自己造的，不是从选项里读来的。

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为什么另外三个选项是错的

• B（必要而不充分）：两个方向都判对了，最后填名字时说反了。箭头射出的那一端是充分—— 这里箭头从 $P$ 射向 $Q$，所以充分的是 $P$。
• C（充分必要）：默认了 $a$、$b$ 都是正数。真在这个默认下，$P$ 就是 $ab<1$、$Q$ 也是 $ab<1$， 两者当然等价。可题面只说「$a$、$b$ 为实数」——第二象限那一整片反例就是这样被丢掉的。
• D（既不充分也不必要）：多半是情形二那次除法没翻号，得到 $b<\dfrac{1}{a}$， 于是以为 $a<0$、$b<0$ 时 $P$ 也推不出 $Q$，把充分性一并否掉了。

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易错

1. 交叉相乘不看分母符号。 这是本题唯一的技术难点。$a<\dfrac{1}{b}$ 乘以 $b$ 之前，先问一句 $b$ 是正是负； 答不上来就别乘，移项通分。一个反号的例子就能戳破：$a=1$、$b=-1$ 时 $1<-1$ 假，而 $ab=-1<1$ 真。
2. 把「或」读成「且」。 证充分性时以为要两条都凑齐，情形一凑出左半支之后卡在右半支上（那里其实是 $ab>1$，凑不出来）， 于是错判 $P\not\Rightarrow Q$。「或」只要一条。
3. 解集没解全就断充要。 少解出 $b<0$ 那一支，$Q$ 的解集缩水，跟 $P$ 一比像是重合，答案就成了 C。 判必要性必须把 $Q$ 整个解出来，或者干脆举一个反例——后者更快。
4. 反例只验了一半。 $(1,3)$ 要同时做到「$Q$ 真」与「$P$ 假」。只算了 $ab=3\notin(0,1)$、 没回头验 $b>\dfrac{1}{a}$，那它就什么也推不翻。