分式不等式直接交叉相乘

$a<\dfrac{1}{b}$ 看上去只差「两边同乘 $b$」就能变成 $ab<1$。 可乘一个不知道正负的数，不等号是不是要翻，你答不上来：

一次交叉相乘，把三条互不相同的结论压成了第一条。

一个立刻打脸的例子

取 $a=1$、$b=-1$：左边 $a=1$，右边 $\dfrac{1}{b}=-1$，$1<-1$ 不成立。 而交叉相乘给出的 $ab=-1<1$ 成立。 同一对 $(a,b)$，原式假、「等价式」真——所以那一步根本不是等价变形。

正确的动作：移项通分，看一个分式的符号

不要乘，减：

到这里就不必再猜了：一个分式为正 $\iff$ 分子分母同号，两种情形一列，解集就全出来了：

• $b>0$ 且 $ab<1$；
• $b<0$ 且 $ab>1$。

同理 $b>\dfrac{1}{a}\iff\dfrac{ab-1}{a}>0$，给出 $a>0$ 且 $ab>1$，或 $a<0$ 且 $ab<1$。

为什么这个错特别难自查

交叉相乘之后式子变得更漂亮（分母没了、只剩 $ab$ 与 $1$ 比大小）， 后面的推导会一路顺畅、每一步都对——错的是入口那一步，而入口那一步的样子恰恰最像常识。

判充分必要条件的题里，它的后果尤其隐蔽：把 $b<0$ 那一支丢掉， 条件的解集就整整少了一块，「充分不必要」会被写成「充要」。

检查清单

1. 要乘的那个量，符号确定吗？确定 → 放心乘；不确定 → 移项通分。
2. 分母能不能为 $0$？为 $0$ 的那些点必须先从讨论范围里划掉。
3. 变形完随手代一组反号的数（比如让分母取负）回原式验一次，一验就露馅。