2.1 等式性质与不等式性质

这一节是第 2 章的地基：怎么严谨地比较两个数的大小、怎么证明不等式。全部内容压在一根支柱上——两个实数大小关系的基本事实，加上由它推出来的七条不等式性质。学完这一节，你要能回答两个问题：给我两个式子，怎么比较大小？给我一个不等式，怎么用性质证明它？

一、两个实数比大小：作差法

初中我们就知道实数有大小，但”为什么 $a > b$“要有个严格的说法。课本给的基本事实：

$a > b \Leftrightarrow a - b > 0;\qquad a = b \Leftrightarrow a - b = 0;\qquad a < b \Leftrightarrow a - b < 0.$

也就是说，比较 $a$ 与 $b$ 的大小，等价于比较 $a - b$ 与 $0$ 的大小——一切比大小问题都翻译成”差的正负号”问题。这个方法叫作差法，是全节最常用的工具。

课本例 1 比较 $(x+2)(x+3)$ 与 $(x+1)(x+4)$：作差后展开，$x^2$ 项与 $5x$ 项正好抵消，差等于 $2 > 0$，所以前者大。作差法的关键动作就两步：先展开化简，再判定差的正负。为了判定正负，常常需要配方（变成完全平方加常数）或分解因式（变成几个因式的乘积，逐个看符号）——习题第 3 题的第 (4) 问、习题第 10 题的糖水问题都用得上这套动作。

二、不等式的七条性质：从等式类比来

等式有五条基本性质（对称、传递、加减、乘、除），课本用”运算中的不变性就是性质”这个思路，类比出不等式的七条性质。前四条是最基本的，后三条由它们推出：

性质 4 是全书最重要的一个”方向标”：不等式两边同乘负数，不等号要反向。这是不等式与等式最本质的差别——等号没有方向性，不等号有。性质 5、6、7 不需要死记，会用性质 2、3、4 现场推就行。

三、证明不等式的两种工具

证明不等式只有两个工具：

1. 作差法：作差 → 化简 → 判定符号。适合”两个式子比大小”和结论是”某式大于某式”的证明（练习第 3 题、习题第 3 题都用它）。
2. 性质链：从已知条件出发，用性质一步步推。适合”已知若干不等式、求证一个不等式”的题。课本例 2 是标准示范：已知 $a > b > 0, c < 0$，求证 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$。

例 2 的思路值得拆开看：要证 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$，$c < 0$，由性质 4，只需证 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$（同乘负数 $c$ 反向）；由 $a > b > 0$ 得 $ab > 0$，两边同乘 $\frac{1}{ab}$（正数，不变向）得 $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$。链条是：$a > b > 0 \xrightarrow{\text{乘正数} \frac{1}{ab}} \frac{1}{a} < \frac{1}{b} \xrightarrow{\text{乘负数} c} \frac{c}{a} > \frac{c}{b}$。做题时把”目标结论”倒着拆，每一步只问”乘的是什么数、正还是负”。

顺带一个不叫「证明」的用法：用性质 4 把参数解出来

上面两个工具都是拿性质去证一个不等式。性质 4 还有一个天天在用、却很少被点名的用法：解。

一个不等式里若参数被某个量乘着，要把参数单独拎出来，做的就是「两边同除以那个量」—— 这正是性质 4。譬如

$$1\leqslant ax+y\leqslant 4,\qquad x>0 \ \xrightarrow{\ \text{两边同除以正数 } x\ }\ \frac{1-y}{x}\leqslant a\leqslant \frac{4-y}{x} .$$

那句「$x>0$」必须从条件里找出来，不能默认。 这是这个动作唯一的风险点，而它恰好是性质 4 的全部内容：

• $x>0$ —— 不变向，参数被关进一个区间；
• $x<0$ —— 反向，区间的两端要对调；
• $x=0$ —— 不等式里根本没有参数了，它退化成一个只关于其余字母的条件，既可能恒成立、也可能直接矛盾。

很多题里那段看着突兀的分类讨论，就是从这三支长出来的。 反过来，题目若在约束里明明白白写了 $x\geqslant 1$ 这种话，它其实是在替你把这一步的前提准备好——看到它就该想到「可以放心地除」。

再往下还有一步，但那一步不属于不等式性质：如果这个条件要对一族 $(x,y)$ 同时成立， 那么每一组 $(x,y)$ 都给出一个区间，参数得落在这些区间的交集里，即

$$a\ \in\ \left[\ \max \frac{1-y}{x},\ \ \min \frac{4-y}{x}\ \right].$$

「除过去」是性质 4，「取交集」是集合运算——把这两步分开写，解答就不会含糊。 考场原型见第五节的 2014 年浙江第 13 题。

四、易错清单（按失分频率排）

1. 同乘负数忘记反向。 $a > b, c < 0 \Rightarrow ac < bc$。做题先圈出”乘的那个数是正还是负”。
2. 性质 5、6 乱用。 同向相加成立（性质 5），但同向相减不成立（$a > b, c > d$ 推不出 $a - c > b - d$）；两个正的同向相乘成立（性质 6），但异号相乘、相除都有额外条件。用之前先对表。
3. 取倒数想当然。 正数取倒数反向：$a > b > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$；但负数取倒数关系不变：$a < b < 0 \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$。课本练习第 2 题第 (4) 问、习题第 8 题都考这个。
4. 作差后判号想当然。 差化简成 $x^2 + 1$ 才敢说正；化简成 $-x^2 - 1$ 才敢说负。不确定符号时配方或分情况讨论（如第 3 题第 (3) 问限定 $x > 1$，恰好使差 $x - 1 > 0$）。
5. 限制挂错了对象。 题目限制的是 $A$，问的是 $B$，而 $B=A+d$——那就必须把整段限制同加 $d$ 搬过去（性质 3），不能把 $A$ 的界直接抄给 $B$。这类题的干扰项往往就是「$d$ 取错」的几种结果，见第五节 2014 浙江第 6 题。
6. 乘方/开方忽略正负前提。 性质 7 要求两边都是正数：$a > b$ 但 $a^2 > b^2$ 不一定成立（$a = 1, b = -2$ 就是反例）。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。先看其中同属一类的两道——2020 年浙江第 3 题与2022 年浙江第 3 题——它们是同一个用法，也是本节最出人意料的一个出口：求最值，一根线都不画。

两题的题面都是线性规划（一组二元一次不等式约束 + 一个线性目标），常规打法要画可行域、平移目标直线。但还有一条纯代数的路：把目标式凑成约束的非负线性组合加一个常数。凑成之后，每一项都由已知的不等号定了号，把它们加起来，界就出来了。撑起这条路的正是本节的两条性质，此外一条也没多用：

• 性质 4（两边同乘正数不变向）保证了「拿一个非负系数 $\lambda$ 去乘约束」这一步合法。$\lambda$ 一旦取到负数，不等号就翻了，整条推理作废——所以那类题里”验 $\lambda \geqslant 0$“是不能省的一步。
• 性质 5（同向不等式可以相加）保证了「把若干个同向的式子合起来」这一步合法。

2022 那道求最大值：三条约束统一写成"$\leqslant 0$"，配出 $3x+4y = 5f_1 + 4f_2 + 18$，右边前两项都 $\leqslant 0$，于是 $3x+4y \leqslant 18$。2020 那道求取值范围：两条约束统一写成"$\geqslant 0$"，配出 $x+2y = \frac{1}{4}f_1 + \frac{5}{4}f_2 + 4$，于是 $x+2y \geqslant 4$。同一套动作，只是不等号朝哪边的差别。

值得一提的是，这两道题的题面属于”二元一次不等式（组）与平面区域”，那一节不在现行人教A版 5 册内；但上面这条代数路只用本节的性质，所以按现行教材备考的读者照样能把它们从头读到尾——这也是本节比它看上去更值钱的地方。

同一副题面还有一种反过来的问法，用的是性质 4 的另一面。 上面两道是「约束与目标都给定，求目标的界」； 2014 年浙江卷第 13 题把它翻了过来——约束不动，目标里带一个参数，反问参数取什么值时目标恒落在两界之间：

当 $x+2y-4\leqslant 0$、$x-y-1\leqslant 0$、$x\geqslant 1$ 时，$1\leqslant ax+y\leqslant 4$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。（答案 $\left[1,\frac{3}{2}\right]$）

它和上面两道用的是同一条性质的两个方向：

• 2020 / 2022 那两道是拿一个非负系数去乘约束再相加（性质 4 正着用 + 性质 5）；
• 这一道是把参数从 $ax$ 里除出来（性质 4 反着用）。题面里的 $x\geqslant 1$ 正是上一节说的那个”前提已备好”—— $x\geqslant 1>0$，除得放心，于是 $\frac{1-y}{x}\leqslant a\leqslant\frac{4-y}{x}$，再对整块区域取交。

这道题还有一条更省事的路，同样一条曲线都不用画：目标 $ax+y$ 是线性的、区域是三个顶点 $A(1,0)$、$B(2,1)$、$C\left(1,\frac{3}{2}\right)$ 围出的凸多边形，而线性函数在凸多边形上的值恰是三个顶点值的加权平均 （这一步用的是性质 4 与性质 5：非负权乘上去、再加起来）。于是”整块区域夹在 $[1,4]$ 里”与”三个顶点夹在 $[1,4]$ 里” 是同一件事，三条双向不等式一取交就完：$a\in[1,4]$、$a\in\left[0,\frac{3}{2}\right]$、$a\in\left[-\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right]$。

它另外还藏着一个反面教材，值得连着记：流传较广的一份解析上来就写「由图分析可知，在 $A$ 取最小值、在 $B$ 取最大值」。 可 $a$ 还没定，$ax+y$ 那族平行线的斜率 $-a$ 就还没定，最大值究竟落在 $B$ 还是 $C$ 是不确定的 （分界恰在 $a=\frac{1}{2}$）。它蒙对了，是因为答案整段落在 $a>\frac{1}{2}$ 里——那是事后才知道的事。 要么老老实实三个顶点全代（本节的性质保证这是等价的），要么把顶点值两两作差、把讨论写完整。

第三类考法：整道压轴题的每一步都只是本节的性质。 最好的例子是 2015 年浙江卷第 20 题 （$a_{1}=\frac12$、$a_{n+1}=a_{n}-a_{n}^{2}$，证 $\frac{1}{2(n+2)}\leqslant\frac{S_{n}}{n}\leqslant\frac{1}{2(n+1)}$）。 它有一条不用数学归纳法的解法，整条链拆开来，用到的性质只有三条，全在本节：

1. 取倒数要看正负（性质 4 的直接推论）。已知 $0<a_{n}\leqslant\frac12$，两边都是正数， 取倒数方向翻转：$\frac{1}{1-a_{n}}\in(1,2]$。这一步给出第（1）问 $1\leqslant\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\leqslant 2$。
2. 性质 5（同向相加）一次用掉 $n-1$ 条。 令 $b_{n}=\frac{1}{a_{n}}$，可以算出 $b_{n+1}-b_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n+1}}$，于是第（1）问说的是「每一步的增量都在 $1$ 与 $2$ 之间」。 把 $n-1$ 条同向的不等式加起来，就得到 $n+1\leqslant b_{n}\leqslant 2n$—— 这正是本节末尾说的「先分别放缩、再用性质 5 相加」，只不过要加的不是两条，是 $n-1$ 条。
3. 再取一次倒数翻回来，得 $\frac{1}{2n}\leqslant a_{n}\leqslant\frac{1}{n+1}$，第（2）问随即收口。

这道题值得放在本节的理由很直接：它是一道数列压轴题，可是从头到尾没有用到数列自己的任何公式， 每一次不等号的变形都是性质 4 或性质 5。本节的两条性质在这里不是”顺手用一下”，而是全部的推理骨架。 （另一条官方解法改用数学归纳法夹住 $a_{n}$，那条路上「交叉相乘」也还是性质 4 —— 两边同乘正数不变向。）

还有一类考法只用最朴素的那条：性质 3（两边同加同一个实数，同向）。 它平时没有存在感—— 同加一个数，方向不变、长度不变、开闭也不变，看上去什么都没发生。可正因为「什么都没发生」， 它是把一段范围从一个量搬到另一个量的唯一合法通道，而高考爱考的恰是「你搬没搬」。

2014 年浙江卷第 6 题：已知 $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$，且 $0<f(-1)=f(-2)=f(-3)\leqslant 3$，求 $c$ 的取值范围。

题目限制的是 $f(-1)$，问的却是 $c$。先把两者的差算出来（由三点等值可得 $f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)+k$， 故 $c=f(0)=6+k$，而 $k$ 就是那个受限制的公共值），于是要搬的距离是 $6$：

$$0<k\leqslant 3 \ \xrightarrow{\ \text{两边同加 }6\ (\text{性质 3})\ }\ 6<k+6\leqslant 9 \ \Longrightarrow\ 6<c\leqslant 9 .$$

四个选项是 $c\leqslant 3$、$3<c\leqslant 6$、$6<c\leqslant 9$、$c>9$——长度、开闭全一样，只有位置不同， 正是「同加 $0$、$3$、$6$、$9$」四种搬法。所以「区间长度对上了」在这道题里完全不能当自检， 唯一能自检的是回代：取 $c=9$ 得 $k=3$，压在上界上；取 $c=6$ 得 $k=0$，被 $>0$ 排除——两个端点各验一次，开闭一并验掉。

顺带说清性质 3 的两个常被混淆的邻居：同加一个数（性质 3）什么都不改； 同乘一个数（性质 4）要看正负，且会把区间拉长或压短；同向相加（性质 5）加的是两条不等式，不是一条不等式加一个数。 这道题只需要第一条，也只能用第一条——$k$ 与 $c$ 差的是加法，不是倍数。

另一类考法：正负号与不等号方向的联动。 最标准的是 2011 年浙江第 7 题：判断"$0 < ab < 1$"是”$a < \frac{1}{b}$ 或 $b > \frac{1}{a}$“的什么条件（答案是充分不必要）。$ab > 0$ 说明 $a, b$ 同号，除过去时不等号方向由 $b$、$a$ 的正负决定；$ab < 1$ 的取倒数也要看正负。性质 4（同乘负数反向）和”取倒数方向依赖正负”这两个点在这一道里都要用上。（本站还没有这道题的攻略，所以它暂时不出现在下方那份派生清单里——那份清单只收已经写了攻略的题。）

此外，不等式性质最常在含参比较与范围估计里出现（习题第 5 题求 $2a + b$ 的范围就是典型）：先分别放缩，再用性质 5 相加。这个动作和上面那两道高考题是同一件事的课内版。

六、怎么读这一节

1. 先背基本事实（作差法）——它是后面一切的逻辑起点；
2. 再背性质 4（同乘负数反向）——它是与等式最大的不同；
3. 做练习第 3 题（证 $a > \frac{a+b}{2} > b$）练作差法，做练习第 2 题第 (4) 问练”取倒数看正负”；
4. 最后挑战习题第 7、10 题：第 7 题是把性质链拉满的综合题，第 10 题（糖水变甜）是把实际事实翻译成不等式再证明——这两题做通，本节过关。

下一节 §2.2 基本不等式就是把本节”正数相乘、取倒数”这些动作提炼成一条最值定理，§2.3 解一元二次不等式也要靠性质做同解变形。

本节页面覆盖第 44–50 页，课本习题共 17 道：第 47 页「练习」3 道、第 49 页「练习」2 道、「习题 2.1」12 道（复习巩固 6 道、综合运用 4 道、拓广探索 2 道），逐题全做。习题第 1 题”举出几个例子”、第 12 题第 (2) 问”哪种方案运费较少”答案不唯一或需说明理由，但都可判对错，收。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 47 页）第 1 题

1. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系：

(1) 某高速公路规定通过车辆的车货总高度 $h$ (单位: $\mathrm{m}$) 从地面算起不能超过 $4 \mathrm{~m}$;

(2) a 与 b 的和是非负实数；

第 (3) 题的图嵌在题面中间（插图不引），故 (3) 单独一个引用块：

（3）如图，在一个面积小于 $350 \, m^{2}$ 的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长 L（单位：m）大于宽 W（单位：m）的 4 倍.

(1) $0 < h \leqslant 4$。车货总高度从地面算起，至少大于 0，至多不超过 4 m。

(2) $a + b \geqslant 0$。“非负”即大于或等于 0。

(3) 如图，仓库四周的绿地等宽，各宽 5 m，所以矩形地基（含绿地）的长为 $L + 10$、宽为 $W + 10$。由题意得不等式组

$$\left\{\begin{aligned} (L + 10)(W + 10) &< 350,\\ L &> 4W. \end{aligned}\right.$$

第一个不等式来自”地基面积小于 $350 \, m^2$“，第二个来自”仓库的长大于宽的 4 倍”。注意 $L$、$W$ 是仓库（内矩形）的长和宽，列地基面积时要先加上两侧绿地各 5 m。

练习（第 47 页）第 2 题

2. 比较 $(x + 3)(x + 7)$ 和 $(x + 4)(x + 6)$ 的大小.

作差：

$$(x + 3)(x + 7) - (x + 4)(x + 6) = (x^2 + 10x + 21) - (x^2 + 10x + 24) = -3 < 0.$$

$10x$ 项恰好抵消，差恒为 $-3$。由基本事实，差为负，所以

$$(x + 3)(x + 7) < (x + 4)(x + 6).$$

自检：作差后差与 $x$ 无关（恒为 $-3$），所以结论对所有实数 $x$ 成立。这题与课本例 1 是同一套路，只是差变成了负数——判断”大于/小于”时方向别写反。

练习（第 47 页）第 3 题

3. 已知 $a > b$，证明 $a > \frac{a + b}{2} > b$.

分两步作差：

$$a - \frac{a + b}{2} = \frac{2a - a - b}{2} = \frac{a - b}{2} > 0,$$

（由 $a > b$ 得 $a - b > 0$），故 $a > \frac{a + b}{2}$；

$$\frac{a + b}{2} - b = \frac{a + b - 2b}{2} = \frac{a - b}{2} > 0,$$

故 $\frac{a + b}{2} > b$。两步合起来：$a > \frac{a + b}{2} > b$。

这道题的关键动作：证明”夹在中间”的式子，就分别作差——证它小于左边、大于右边，两次作差用的是同一个差 $\frac{a - b}{2}$。这也是”平均数介于两数之间”的标准证法。

练习（第 49 页）第 1 题

1. 证明不等式性质 1, 3, 4, 6.

性质 1（$a > b \Leftrightarrow b < a$）：由基本事实，$a > b \Leftrightarrow a - b > 0 \Leftrightarrow b - a < 0 \Leftrightarrow b < a$。

性质 3（$a > b \Rightarrow a + c > b + c$）：作差

$$(a + c) - (b + c) = a - b > 0,$$

由基本事实得 $a + c > b + c$。

性质 4（$a > b, c > 0 \Rightarrow ac > bc$；$a > b, c < 0 \Rightarrow ac < bc$）：作差

$$ac - bc = c(a - b).$$

由 $a > b$ 得 $a - b > 0$。若 $c > 0$，则 $c(a - b) > 0$，故 $ac > bc$；若 $c < 0$，则 $c(a - b) < 0$，故 $ac < bc$。

性质 6（$a > b > 0, c > d > 0 \Rightarrow ac > bd$）：由 $a > b$ 和性质 4（乘正数 $c$），得 $ac > bc$；由 $c > d$ 和性质 4（乘正数 $b$），得 $bc > bd$；再由性质 2（传递性），得 $ac > bd$。

自检：性质 1、3、4 的证明都可以用基本事实直接做（作差看符号），性质 6 用的是性质链（性质 4 + 性质 2）。两条路线正是本节的两种工具，全部用上了。注意性质 4 在 $c < 0$ 时作差 $c(a - b) < 0$——两个正因子乘上负数，符号由”正正得正”变”负正得负”。

练习（第 49 页）第 2 题

2. 用不等号“＞”或“＜”填空：

(1) 如果 a > b, c < d，那么 a - c ____ b - d;

(2) 如果 a > b > 0, c < d < 0, 那么 ac ____ bd;

（3）如果 $a > b > 0$ ，那么 $\frac{1}{a^2}$ ____ $\frac{1}{b^2}$

(4) 如果 a > b > c > 0，那么 $\frac{c}{a}$ ____ $\frac{c}{b}$ .

(1) 填 $>$。 由 $c < d$ 得 $-c > -d$（性质 4，乘 $-1$ 反向），与 $a > b$ 相加（性质 5）得 $a - c > b - d$。也可以作差验证：$(a - c) - (b - d) = (a - b) + (d - c) > 0$。

(2) 填 $<$。 注意 $a > b$、$c < d$ 都是正负条件，不能直接用性质 6（它要求同向且同为正）。性质链：由 $c < d < 0$ 得 $-c > -d > 0$（性质 4，乘 $-1$ 反向）；$a > b > 0$ 与 $-c > -d > 0$ 两个同向正数相乘（性质 6），得 $a(-c) > b(-d)$，即 $-ac > -bd$；两边同乘 $-1$（性质 4，反向）得 $ac < bd$，填 $<$。取数验算：$a = 3, b = 2, c = -2, d = -1$，$ac = -6 < bd = -2$ ✓。

（3）填 $<$。 由 $a > b > 0$ 与性质 7（$n = 2$）得 $a^2 > b^2$；两个正数取倒数反向：$\frac{1}{a^2} < \frac{1}{b^2}$。（或由 $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2} = \frac{(b-a)(b+a)}{a^2 b^2} < 0$。）

(4) 填 $<$。 由 $a > b > 0$ 取倒数反向得 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$；由 $c > 0$（题目条件 $a > b > c > 0$ 保证），两边同乘正数 $c$（性质 4，不变向）得 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$，填 $<$。直观上：分子相同，分母 $a$ 比分母 $b$ 大，分数反而小。

自检：(2)(3)(4) 三题都考”乘除的方向”，共同要点是先看清乘（除）的数是正还是负：负的（如乘 $-1$、取倒数的方向依赖正负）要反向。(4) 里 $c > 0$ 是正数，乘过去不变向，容易误以为是”分子 $c$ 相同所以比分母”，直接从 $\frac{c}{a}$ 与 $\frac{c}{b}$ 看——$a > b$ 分母大的反而小，$\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$。

习题 2.1 第 1 题

1. 举出几个现实生活中与不等式有关的例子.

答案不唯一，举三个：

• 某品牌牛奶的营养成分表：蛋白质含量 $\geqslant 2.9$ g/100 mL，脂肪含量 $\geqslant 3.1$ g/100 mL；
• 高速公路限速：车辆行驶速度 $v$ 满足 $60 \leqslant v \leqslant 120$（单位：km/h）；
• 电梯载重：电梯内乘客总质量不超过额定载重 1000 kg，即 $M \leqslant 1000$（单位：kg）；
• 儿童身高：游乐设施规定身高不低于 1.2 m 的儿童方可乘坐，即 $h \geqslant 1.2$（单位：m）。

习题 2.1 第 2 题

2. 某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案 A 为一次性投资 500 万元；方案 B 为第一年投资 100 万元，以后每年投资 10 万元。列出不等式表示 “经过 n 年之后，方案 B 的投入不少于方案 A 的投入”。

方案 B 经过 $n$ 年的总投入：第一年 100 万元，之后每年 10 万元，共 $n - 1$ 个”以后每年”，即

$$100 + 10(n - 1) \geqslant 500.$$

整理得 $10n + 90 \geqslant 500$，即 $10n \geqslant 410$，$n \geqslant 41$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）。“不少于”即大于或等于：$n = 41$ 时方案 B 总投入 $100 + 40 \times 10 = 500$ 万元，恰好达到方案 A 的一次性投资，之后每年继续投入则反超。注意第一年投入 100 万，后面的每年 10 万只有 $n - 1$ 年，不能写成 $100 + 10n$。

习题 2.1 第 3 题

3. 比较下列各组中两个代数式的大小： (1) $x^{2}+5x+6$ 与 $2x^{2}+5x+9$ ; (2) $(x-3)^{2}$ 与 $(x-2)(x-4)$ ; (3) 当 x>1 时， $x^{2}$ 与 $x^{2}-x+1$ ; (4) $x^{2}+y^{2}+1$ 与 $2(x+y-1)$ .

(1) 作差：

$$(x^2 + 5x + 6) - (2x^2 + 5x + 9) = -x^2 - 3 = -(x^2 + 3) < 0$$

（$x^2 + 3 > 0$ 恒成立），所以 $x^{2}+5x+6 < 2x^{2}+5x+9$。

(2) 作差：

$$(x - 3)^2 - (x - 2)(x - 4) = (x^2 - 6x + 9) - (x^2 - 6x + 8) = 1 > 0,$$

所以 $(x-3)^{2} > (x-2)(x-4)$。$x$ 项全部抵消，差恒为 $1$。

(3) 作差：

$$x^2 - (x^2 - x + 1) = x - 1.$$

当 $x > 1$ 时 $x - 1 > 0$，所以 $x^{2} > x^{2}-x+1$。注意这里必须用"$x > 1$"这个条件——差的正负依赖 $x$，没有条件时结论不成立（$x = 0$ 时 $x^2 = 0 < 1 = x^2 - x + 1$）。

(4) 作差并配方：

$$(x^2 + y^2 + 1) - 2(x + y - 1) = x^2 + y^2 + 1 - 2x - 2y + 2 = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + 1 > 0,$$

所以 $x^{2}+y^{2}+1 > 2(x+y-1)$。

这道题的关键动作：四问都是作差后把差化到”符号显然”为止——(1)(2) 靠抵消，(3) 靠题目给的条件，(4) 靠配方。判定正负是作差法的最后一公里，化到配方或条件可判的形式才算做完。

习题 2.1 第 4 题

4. 一个大于 50 且小于 60 的两位数，其个位数字比十位数字大 2. 试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用 a 和 b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.

这个两位数等于 $10a + b$，其中 $a, b$ 是数字（$a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$，$b \in \{0, 1, \ldots, 9\}$）。题意翻译为不等式组：

$$50 < 10a + b < 60, \qquad b = a + 2.$$

因为 $50 < 10a + b < 60$ 且 $b < 10$，所以 $a$ 只能等于 5（$10a < 60$ 且 $10a + 9 \geqslant 50 \Rightarrow 10a \geqslant 41$，$a = 5$）。于是 $b = a + 2 = 7$，这个两位数是 57。检验：$57$ 满足 $50 < 57 < 60$，且个位 7 比十位 5 大 2 ✓。

习题 2.1 第 5 题

5. 已知 $2 < a < 3, -2 < b < -1$，求 $2a + b$ 的取值范围.

由 $2 < a < 3$ 得 $4 < 2a < 6$（性质 4，乘正数 2）；又 $-2 < b < -1$。两式相加（性质 5）：

$$2 < 2a + b < 5.$$

答案：$2a + b$ 的取值范围是 $(2, 5)$。 两个方向都是严格不等式，相加后仍然严格（同向相加的端点取不到：$2a$ 取不到 4 或 6，$b$ 取不到 $-2$ 或 $-1$，故和取不到 2 或 5）。

习题 2.1 第 6 题

6. 证明： $c < b$ ， $b < a \Rightarrow c < a$

这是不等式性质 2（传递性）的直接应用：由 $c < b$ 和 $b < a$，即 $b > c$ 且 $a > b$，按性质 2（$a > b, b > c \Rightarrow a > c$）得 $a > c$，即 $c < a$。也可以用基本事实验证：$(a - b) + (b - c) = a - c > 0$，故 $a > c$。课本用后者证明了性质 2，这里复述一遍性质链即可。

习题 2.1 第 7 题

7. 已知 $a > b > 0, c < d < 0, e < 0$，求证 $\frac{e}{a - c} > \frac{e}{b - d}$.

思路：$e < 0$，要证 $\frac{e}{a-c} > \frac{e}{b-d}$，由性质 4（乘负数反向）只需证 $\frac{1}{a-c} < \frac{1}{b-d}$，而这又归结为证 $a - c > b - d > 0$。

先看分母的正负：$a > 0$ 且 $-c > 0$，故 $a - c > 0$；同理 $b - d > 0$。

再看大小：由 $a > b$ 与 $-c > -d$（由 $c < d$ 乘 $-1$ 反向），相加（性质 5）得

$$a - c > b - d > 0.$$

两个正数取倒数反向：$\frac{1}{a - c} < \frac{1}{b - d}$。最后 $e < 0$，两边同乘 $e$（性质 4，反向）得

$$\frac{e}{a - c} > \frac{e}{b - d}.$$

这道题的关键动作：把目标结论倒着拆——“先比分母，再取倒数，再乘 $e$“，每步只问乘（除）的数正负。分母 $a - c$、$b - d$ 的正负必须先验（$a > 0$、$c < 0$ 保证），否则后面取倒数时方向没有依据。

习题 2.1 第 8 题

8. 下列命题为真命题的是（）. （A）若 a > b > 0，则 $ac^{2} > bc^{2}$ (B）若 a > b > 0，则 $a^{2} > b^{2}$ (C）若 a < b < 0，则 $a^{2} < ab < b^{2}$ (D）若 a < b < 0，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

(A) 假。 需要 $c \neq 0$ 才有 $ac^2 > bc^2$；$c = 0$ 时 $ac^2 = bc^2 = 0$，两边相等。命题没给 $c \neq 0$ 的条件，故为假。

(B) 真。 $a > b > 0$，由性质 7（$n = 2$）得 $a^2 > b^2$。选 B。

(C) 假。 反例：$a = -2, b = -1$，则 $a^2 = 4$，$ab = 2$，$b^2 = 1$，$4 < 2 < 1$ 不成立。（一般地，$a < b < 0$ 时乘负数变向：$a^2 > ab > b^2$ 才对。）

(D) 假。 反例：$a = -2, b = -1$，则 $\frac{1}{a} = -\frac{1}{2} > -1 = \frac{1}{b}$，$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ 不成立。（负数取倒数关系不变：$a < b < 0 \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$。）

答案：B。

这道题的关键动作：判断题逐个检查”乘的数是否允许为 0”（A 的 $c = 0$）和”乘负数方向”（C、D）。用反例验假比硬证真快。

习题 2.1 第 9 题

9. 证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积。并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因。

设两者周长都为 $L$。

• 圆的半径 $r = \frac{L}{2\pi}$，面积 $S_1 = \pi r^2 = \pi \cdot \frac{L^2}{4\pi^2} = \frac{L^2}{4\pi}$；
• 正方形的边长 $\frac{L}{4}$，面积 $S_2 = \frac{L^2}{16}$。

作差：

$$S_1 - S_2 = \frac{L^2}{4\pi} - \frac{L^2}{16} = L^2 \cdot \frac{4 - \pi}{16\pi}.$$

因为 $4 - \pi > 0$（$\pi \approx 3.14 < 4$），所以 $S_1 - S_2 > 0$，圆的面积大于同周长正方形的面积。

实际意义：周长相同时圆截面的过水面积最大，用同样的材料做出最大的通水截面，或者传输同量水流消耗材料最少——这就是自来水管横截面做成圆形的原因（相同周长下圆面积最大，这个结论在 §2.2 基本不等式处还会再见到）。

习题 2.1 第 10 题

10. 已知 $b$ 克糖水中含有 $a$ 克糖 $(b > a > 0)$，再添加 $m$ 克糖 $(m > 0)$（假设全部溶解），糖水变甜了。请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立。

“糖水变甜”即糖的浓度变大：加糖前浓度为 $\frac{a}{b}$，加糖后浓度为 $\frac{a + m}{b + m}$，事实表示为

$$\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}.$$

证明（作差法）：

$$\frac{a + m}{b + m} - \frac{a}{b} = \frac{b(a + m) - a(b + m)}{b(b + m)} = \frac{ab + bm - ab - am}{b(b + m)} = \frac{m(b - a)}{b(b + m)}.$$

由 $b > a > 0$ 得 $b - a > 0$，且 $b > 0$、$b + m > 0$，所以 $\frac{m(b - a)}{b(b + m)} > 0$，即 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$。不等式成立，糖水变甜的事实得到证明。

这个不等式有个名字叫”糖水不等式”（或真分数不等式）：分子分母同加一个正数，分数变大。它在后面证明不等式时是个常用结论。

习题 2.1 第 11 题

11. 已知 $a > b > 0$，求证 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$.

证法一（作差后有理化）：

$$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} > 0,$$

分子 $a - b > 0$，分母 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > 0$，所以 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$。

证法二（反证）：若 $\sqrt{a} \leqslant \sqrt{b}$，两边平方得 $a \leqslant b$，与 $a > b$ 矛盾。

这道题的关键动作：含根号的不等式作差后”有理化”（乘共轭把差转成不含根号的形式），或者用反证法把根号消掉。性质 7 的”逆方向”（正数开方不反向）就是这道题的一般形式。

习题 2.1 第 12 题

12. 火车站有某公司待运的甲种货物 $1530 \mathrm{t}$, 乙种货物 $1150 \mathrm{t}$. 现计划用 A, B 两种型号的货厢共 50 节运送这批货物. 已知 $35 \mathrm{t}$ 甲种货物和 $15 \mathrm{t}$ 乙种货物可装满一节 A 型货厢, $25 \mathrm{t}$ 甲种货物和 $35 \mathrm{t}$ 乙种货物可装满一节 B 型货厢, 据此安排 A, B 两种货厢的节数, 共有几种方案? 若每节 A 型货厢的运费是 0.5 万元, 每节 B 型货厢的运费是 0.8 万元, 哪种方案的运费较少?

设 A 型货厢用 $x$ 节，则 B 型用 $50 - x$ 节（$x$ 为整数，$0 \leqslant x \leqslant 50$）。

甲种货物：A 型每节装 35 t、B 型每节装 25 t，要运走全部 1530 t，得 $35x + 25(50 - x) \geqslant 1530$，即 $10x \geqslant 280$，$x \geqslant 28$；

乙种货物：A 型每节装 15 t、B 型每节装 35 t，得 $15x + 35(50 - x) \geqslant 1150$，即 $1750 - 20x \geqslant 1150$，$x \leqslant 30$。

合起来 $28 \leqslant x \leqslant 30$，$x$ 取整数：$x = 28, 29, 30$，共 3 种方案：

• 方案一：A 型 28 节、B 型 22 节；
• 方案二：A 型 29 节、B 型 21 节；
• 方案三：A 型 30 节、B 型 20 节。

运费比较：总运费 $= 0.5x + 0.8(50 - x) = 40 - 0.3x$ 万元。$x$ 越大总运费越小，所以 $x = 30$（A 型 30 节、B 型 20 节）时运费最少，为 $40 - 0.3 \times 30 = 31$ 万元。方案三的运费较少。

自检：每种方案都验一下甲、乙货物是否装得下——方案三：甲 $35 \times 30 + 25 \times 20 = 1550 \geqslant 1530$ ✓，乙 $15 \times 30 + 35 \times 20 = 1150 \geqslant 1150$ ✓（恰好装完）。注意 $x \geqslant 28$ 与 $x \leqslant 30$ 两端的方案都能装下全部货物（允许略有富余载重），这是”不少于”而不是”恰好等于”带来的方案空间。