浙江 2016 · 数学 q08

冷启动：四条命题长得几乎一样，差别只在哪个字母带平方

四个选项的结论完全相同，都是 $a^{2}+b^{2}+c^{2}<100$；前提也都是「两个绝对值之和 $\leq 1$」。 真正的差别只在那两个式子里谁带平方、$c$ 前面是加号还是减号：

「两个绝对值之和 $\leq 1$」是一个很紧的条件：两个式子必须同时接近 $0$。 所以第一件该做的事不是硬估，而是问：能不能让它们同时等于 $0$？ 如果能，而且做到这件事之后还剩一个变量可以随便放大，那个选项立刻就假了。

让两个式子同时为 $0$，就是解一个二元方程组。注意到 $c$ 在两个式子里 要么同号、要么反号，于是相减或相加就能把 $c$ 消掉，剩下一个只含 $a$、$b$ 的方程—— 它的解集画在 $(a,b)$ 平面上是一条曲线。这条曲线有没有伸向无穷远，就决定了这个选项的死活。

解法一：两式相加把 c 消掉，配方圈住 a、b，再回代圈住 c

这一条路只做一件事：证明 D 是真的。

第一步：给两个式子起名

设实数 $a$、$b$、$c$ 满足 D 的前提，记

$$u=a^{2}+b+c,\qquad v=a+b^{2}-c ,$$

则条件就是 $|u|+|v|\leq 1$。

第二步：相加，$c$ 正好消干净

$c$ 在 $u$ 里带 $+$、在 $v$ 里带 $-$，所以把两式相加：

$$u+v=a^{2}+a+b^{2}+b .$$

右边一个 $c$ 都没有了。而对任意实数 $x$ 都有 $x\leq|x|$，于是

$$u+v\leq|u|+|v|\leq 1 .$$

（这里只用到「$\leq$ 的加法保序」和 $x\leq|x|$，没有用到 $u$、$v$ 各自的符号。）

第三步：配方，把 $a$、$b$ 锁进一个圆盘

$$a^{2}+a+b^{2}+b=\left(a+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(b+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2} ,$$

代进第二步的不等式得

$$\left(a+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(b+\frac{1}{2}\right)^{2}\leq 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} .$$

这一步是全题的转折点：$(a,b)$ 被关进了一个以 $\left(-\dfrac12,-\dfrac12\right)$ 为心、 半径 $\sqrt{3/2}$ 的圆盘里，再也跑不远了。由平方和 $\leq\dfrac32$ 得每一项各自也 $\leq\dfrac32$，故

$$\left|a+\frac{1}{2}\right|\leq\sqrt{\frac{3}{2}},\qquad |a|\leq\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}\approx 1.7247 .$$

$b$ 同理。记 $R=\dfrac12+\sqrt{\dfrac32}$，则 $|a|\leq R$、$|b|\leq R$，从而

$$a^{2}\leq R^{2}\approx 2.975,\qquad b^{2}\leq R^{2}\approx 2.975 .$$

第四步：回代，把 $c$ 也圈住

从 $u=a^{2}+b+c$ 解出 $c=u-a^{2}-b$，取绝对值并逐项放大：

$$|c|\leq|u|+a^{2}+|b|\leq 1+R^{2}+R\approx 1+2.975+1.725=5.700 .$$

（这里 $|u|\leq|u|+|v|\leq 1$。）

第五步：三项加起来，离 $100$ 还很远

$$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2R^{2}+\left(1+R^{2}+R\right)^{2} \approx 2\times 2.975+5.700^{2}\approx 5.95+32.49=38.44<100 .$$

所以 D 的前提确实逼出了 $a^{2}+b^{2}+c^{2}<100$，D 为真。

第六步：为什么同样的招对 A、B、C 使不出来

同一个动作在别的选项上也能做，只是消完之后剩下的东西是无界的：

• A：$c$ 在两式里同号，相减得 $u-v=a^{2}+b-a-b^{2}=(a-b)(a+b-1)$。 它等于 $0$ 的地方是两条直线 $b=a$ 与 $a+b=1$——直线是无界的。
• B：相加得 $u+v=2(a^{2}+b)$，零点集是抛物线 $b=-a^{2}$，也无界。
• C：$c$ 只以 $c^{2}$ 出现，相加得 $u+v=2(a+b)$，零点集是直线 $a+b=0$，还是无界。

只有 D 消完得到的 $a^{2}+a+b^{2}+b$ 是一个正定型的平方和减常数，零点集是一个圆。 教学图上块画的正是这四条曲线：三条红的伸向图外，一条绿的自己合拢。

选 D。

解法二：给 A、B、C 各造一个反例，只剩 D

这一条路不证 D，只打掉另外三个。前提是题面本身给的：这是单选题，四条命题里恰有一条为真。 所以只要 A、B、C 各被一个反例推翻，剩下的那条就是答案。

造反例的模板：让两个绝对值同时等于 $0$（这样左边是 $0$，前提铁定成立）， 再看解集里还有没有变量可以放到很大。

第一步：A 的反例

A 的前提是 $|a^{2}+b+c|+|a+b^{2}+c|\leq 1$。令两式同时为 $0$：

$$\begin{cases}a^{2}+b+c=0,\\ a+b^{2}+c=0 .\end{cases}$$

相减消去 $c$：$a^{2}+b-a-b^{2}=0$，即 $(a-b)(a+b-1)=0$。取最省事的一支 $a=b$， 再由第一式解出 $c=-\left(a^{2}+a\right)$。于是对任意 $a$， $\left(a,\,a,\,-a^{2}-a\right)$ 都让前提取等号中的 $0$。

取 $a=10$，得 $a=b=10$、$c=-110$。验一遍：

• 前提：$\left|100+10-110\right|+\left|10+100-110\right|=0+0=0\leq 1$，成立；
• 结论：$a^{2}+b^{2}+c^{2}=100+100+12100=12300>100$，不成立。

A 假。

第二步：B 的反例

B 的前提是 $|a^{2}+b+c|+|a^{2}+b-c|\leq 1$。令两式同时为 $0$，相加得 $2\left(a^{2}+b\right)=0$， 相减得 $2c=0$。故 $c=0$、$b=-a^{2}$，$a$ 完全自由。取 $a=10$：$a=10$、$b=-100$、$c=0$。

• 前提：$\left|100-100+0\right|+\left|100-100-0\right|=0\leq 1$，成立；
• 结论：$a^{2}+b^{2}+c^{2}=100+10000+0=10100>100$，不成立。

B 假。

第三步：C 的反例

C 的前提是 $\left|a+b+c^{2}\right|+\left|a+b-c^{2}\right|\leq 1$。令两式同时为 $0$， 相加得 $2(a+b)=0$，相减得 $2c^{2}=0$。故 $c=0$、$b=-a$，$a$ 完全自由。取 $a=100$： $a=100$、$b=-100$、$c=0$。

• 前提：$\left|100-100+0\right|+\left|100-100-0\right|=0\leq 1$，成立；
• 结论：$a^{2}+b^{2}+c^{2}=10000+10000+0=20000>100$，不成立。

C 假。

第四步：同样的模板对 D 失效

D 的前提是 $\left|a^{2}+b+c\right|+\left|a+b^{2}-c\right|\leq 1$。令两式同时为 $0$，相加消 $c$：

$$a^{2}+a+b^{2}+b=0\iff\left(a+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(b+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2} .$$

这是一个半径 $\dfrac{1}{\sqrt2}$ 的圆，$a$、$b$ 都被限制在 $\left[-\dfrac12-\dfrac{1}{\sqrt2},\,-\dfrac12+\dfrac{1}{\sqrt2}\right]$ 里； $c$ 又由 $c=-a^{2}-b$ 定死，同样跑不远。模板在这里造不出反例。

第五步：结账

A、B、C 各有反例，都是假命题；单选题里恰有一条为真，所以真的那条是 D。

回头看：两条路各自强在哪儿

解法二是考场上的走法，快在只做算术：三次「让两个绝对值同时归零」， 三次代入验算，六个数一算完就能勾 D。它依赖的是单选题「恰有一条为真」这个约定。

解法一才是这道题真正的内容：它证明了 D，而且证明的过程解释了为什么别的三条是假的—— 消掉 $c$ 之后剩下的那个二元式子，是无界的零点集还是有界的圆，决定了一切。 $a^{2}+a+b^{2}+b$ 之所以有界，是因为 $a$、$b$ 在里面都带平方且系数同号； 而 A 消完剩下 $(a-b)(a+b-1)$、B 剩下 $a^{2}+b$、C 剩下 $a+b$， 它们要么是两条直线的乘积、要么一次项当家，零点集全都伸得出去。

两条路共用同一个关键动作：盯住 $c$ 的系数，该加就加、该减就减。 不同的是，解法二用它去解方程造反例，解法一用它去放缩得约束—— 放缩是单向的（由 $|u|+|v|\leq 1$ 能推出 $|u+v|\leq 1$，反过来不行）， 所以两条路各走各的，不能互换。

一句话记住这道题：前提里那两个绝对值，加起来或减起来总能消掉一个变量； 消完之后剩下的式子若是「平方和」，命题就真；若还留着一次项或能分解成直线，就假。