两个绝对值之和先加减消元

解题套路

1. 看某个变量在两个式子里怎么进来：系数同号，还是反号。

2. 挑组合：反号就相加、同号就相减，那个变量正好消干净。

3. 放缩：对任意实数 $x$、$y$ 都有

   $$|x|+|y|\geq|x+y|,\qquad |x|+|y|\geq|x-y| ,$$

   所以由 $|e_1|+|e_2|\leq k$ 立刻得到 $|e_1\pm e_2|\leq k$——变量少了一个，不等式还在。

4. 先圈住剩下的变量，通常这一步能配方成「平方和 $\leq$ 常数」，把它们锁进一个有界集合。

5. 回代圈住被消掉的那个：把它从 $e_1$（或 $e_2$）里解出来，用第 4 步的界去估。

为什么这么走

$|e_1|+|e_2|\leq k$ 是一个很紧的条件：两个式子必须同时很小。 直接盯着两个式子各自的取值范围，会被交叉项缠住； 而 $e_1\pm e_2$ 是它们的线性组合，条件对它一样有效，却少了一个变量，配方的路一下就通了。

反过来提醒

放缩是单向的：由 $|e_1|+|e_2|\leq k$ 能推出 $|e_1\pm e_2|\leq k$，反过来不成立。 所以这条路只能用来证结论（得到必要的约束），不能用来构造满足前提的例子。