浙江 2022 · 数学 q03

冷启动：这道题在问什么

假设你没学过线性规划。先把题面翻成人话。

① 三条不等式圈出一块地。 题目说 $x,y$ 是实数，且

$$\begin{cases} x-2\ge 0\\ 2x+y-7\le 0\\ x-y-2\le 0 \end{cases}$$

每一条都是二元一次不等式。一条二元一次等式（如 $x-2=0$）在坐标平面上是一条直线；把等号换成不等号，得到的就是这条直线一侧的半个平面。三条不等式同时成立，就是三个半平面的公共部分——一块区域。这块区域叫可行域，里面的每个点 $(x,y)$ 都是「满足题目要求」的一种取法。

② 目标是在这块地里把 $3x+4y$ 顶到最大。 $z=3x+4y$ 对每个点给出一个数，问的是：在可行域里所有点当中，这个数最大能到多少。

③ 为什么这类题有固定打法。 约束是一次的、目标也是一次的，这种问题叫线性规划。它的好处是可行域一定是凸的（半平面交出来的形状不会凹进去），而线性的 $z$ 在凸多边形上的最值一定落在顶点——于是无穷多个点的比较，被压成有限几个顶点的比较。

⚠️ 这一节不在现行教材里。 承载它的「二元一次不等式（组）与平面区域」不在现行人教A版 5 册内。浙江 2008–2013 自主命题理科卷时代它是固定考点，但按现行教材备考的读者要先知道这一点（真题页顶部也会挂同样的提示）。

解法一：画可行域，平移目标直线

怎么想到的。 目标 $z=3x+4y$ 里 $z$ 一变，$3x+4y=z$ 就是一条新的直线——但斜率不变，永远是 $-\tfrac34$。也就是说，所有可能的「$z$ 值」对应一整族互相平行的直线。求 $z$ 的最大值，就是问：这族平行线里，还能碰到可行域的那一条，最远能推到哪儿？

① 先把可行域画出来。 三条边界直线各画一条，再逐条定「取哪一侧」——办法是拿一个不在直线上的点代进去试：

三块公共部分是一块三角区域——三条边、三个角，形状一望便知。

② 把三个顶点算出来（联立，不许目测）。 这块区域的每个顶点都是两条边界直线的交点：

• $x=2$ 与 $x-y=2$：代入得 $2-y=2$，即 $y=0$ → 顶点 $(2,0)$；
• $x=2$ 与 $2x+y=7$：代入得 $4+y=7$，即 $y=3$ → 顶点 $(2,3)$；
• $2x+y=7$ 与 $x-y=2$：两式相加得 $3x=9$，即 $x=3$，回代 $y=1$ → 顶点 $(3,1)$。

顺手确认这块区域是有界的：把后两条约束放在一起，$y\le 7-2x$ 且 $y\ge x-2$，要能同时成立必须 $7-2x\ge x-2$，即 $x\le 3$；再配上 $x\ge 2$，横坐标被夹在 $[2,3]$ 里，区域封了口。这一步不是走过场——无界的可行域上最大值可能根本不存在，后面「比顶点」的做法就失效了。

③ 定平移方向。 把 $z=3x+4y$ 解出 $y$：

$$y=-\frac34x+\frac{z}{4}$$

这族线的纵截距是 $\dfrac{z}{4}$。因为 $4>0$，截距越大 $z$ 越大，所以要让 $z$ 最大，就把这条线尽量往上推。（这一步最容易做反：若目标是 $z=3x-4y$，那就得往下推才是 $z$ 变大。）

④ 推到哪儿停——比斜率，不是比纵坐标。 直线一路往上平移，最后还沾着可行域的那个位置就是最优；因为区域是凸多边形而 $z$ 是线性的，这个位置一定落在某个顶点上。

那么是哪个顶点？这里有个特别容易犯的错：不能挑「纵坐标最高」的那个顶点。截距最大的确等价于 $z$ 最大（$\tfrac z4$ 就是截距），但截距是 $y+\tfrac34x$，不是 $y$——只有当目标恰好是 $z=by$ 时两者才一致。正确的看法是比斜率，一个顶点是不是最优，只要看它相邻的两条边：

• 朝上那条边：从 $(2,3)$ 到 $(3,1)$，落在 $2x+y=7$ 上，斜率 $-2$，比目标线的 $-\tfrac34$ 更陡。沿这条边向右走一格，边下降 $2$、而目标线只下降 $\tfrac34$——边掉得更快，被目标线甩在了下方。所以这条边上截距最大的位置在它的左端 $(2,3)$，往右走 $z$ 只会变小。
• 竖直那条边：$x=2$ 从 $(2,0)$ 到 $(2,3)$。沿它往上走，$x$ 不变而 $y$ 增大，$z=3x+4y$ 随之增大（$4>0$），最优在上端 $(2,3)$。

两条相邻边都指向 $(2,3)$：从这个顶点出发，沿任何一条边挪动 $z$ 都变小。可行域是凸的，凸区域上的局部最优就是全局最优，所以 $(2,3)$ 就是最优解：

$$z_{\max}=3\times 2+4\times 3=6+12=18$$

⑤ 三个顶点各算一遍作核对。 平移是「看」出来的，容易受画图精度影响，所以最好再算一遍：

$$z(2,0)=6,\qquad z(2,3)=18,\qquad z(3,1)=3\times3+4\times1=13$$

最大的确实是 $18$。顺带看清了干扰项的来路：$13$ 是另一个顶点 $(3,1)$ 的值（平移时停错了顶点），$6$ 是 $(2,0)$ 的值，也就是这道题的最小值（平移方向推反了）。

为什么「全算一遍」不算第二条路。 它与平移用的是同一块可行域、同一组顶点，前面 ①② 两步一字不差，只有最后一步是「看」还是「算」的区别。按本站的判据——两条路要在拿到题面后的第一个实质动作上就分岔——它是同一条路的另一种收尾，不是另一条路。真正另起炉灶的那条在下面。

解法二：把目标配成三条约束的线性组合

怎么想到的。 上一条路要画图。但「$3x+4y$ 最大是 $18$」这句话本质上是一个不等式：

$$3x+4y\le 18\quad\text{（对可行域里所有点成立），且有一点取到等号}$$

手上正好有三条现成的不等式。能不能把它们直接加起来，凑出 $3x+4y\le 18$？ 如果能，整道题就不用画一根线。

关键是方向不能乱。先把三条约束统一写成「$\le 0$」的模样：

$$\underbrace{2-x}_{f_1}\le 0,\qquad \underbrace{2x+y-7}_{f_2}\le 0,\qquad \underbrace{x-y-2}_{f_3}\le 0$$

（第一条由 $x-2\ge 0$ 两边乘 $-1$ 得来，不等号跟着翻。）非负数乘一个 $\le 0$ 的量仍 $\le 0$，若干个 $\le 0$ 的量相加仍 $\le 0$——这就是全部要用的工具。它们不是临时约定，就是必修第一册 §2.1 不等式的基本性质里的性质 4（两边同乘正数不变向）与性质 5（同向不等式可以相加）。

① 设待定系数，写成恒等式。 我们希望找到 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\ge 0$ 与常数 $c$，使得

$$3x+4y=\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2+\lambda_3 f_3+c$$

对所有 $x,y$ 成立。一旦配成，右边前三项各自 $\le 0$，立刻得 $3x+4y\le c$。

② 比系数。 把右边展开：

$$\lambda_1(2-x)+\lambda_2(2x+y-7)+\lambda_3(x-y-2)+c$$ $$=(-\lambda_1+2\lambda_2+\lambda_3)\,x+(\lambda_2-\lambda_3)\,y+(2\lambda_1-7\lambda_2-2\lambda_3+c)$$

与左边 $3x+4y+0$ 逐项相等：

$$\begin{cases} -\lambda_1+2\lambda_2+\lambda_3=3 &\text{（$x$ 的系数）}\\ \lambda_2-\lambda_3=4 &\text{（$y$ 的系数）}\\ 2\lambda_1-7\lambda_2-2\lambda_3+c=0 &\text{（常数项）} \end{cases}$$

三个方程、四个未知量，解不唯一——那就先试最省事的一组：令 $\lambda_3=0$。于是第二式给 $\lambda_2=4$，第一式给 $-\lambda_1+8=3$，即 $\lambda_1=5$，第三式给

$$c=-2\lambda_1+7\lambda_2+2\lambda_3=-10+28+0=18$$

③ 验非负——这一步不能省。 $\lambda_1=5\ge 0$、$\lambda_2=4\ge 0$、$\lambda_3=0\ge 0$，三个都合格。（若解出来某个 $\lambda$ 是负的，这组配法就作废：负系数会把不等号方向掰反。那时换一个 $\lambda$ 设成 $0$ 重来。）

④ 写出恒等式并放缩。 把 $\lambda_1=5,\lambda_2=4,\lambda_3=0,c=18$ 代回，先验一遍这确实是恒等式：

$$5(2-x)+4(2x+y-7)+18=10-5x+8x+4y-28+18=3x+4y$$

两边逐项相同 ✓。于是对可行域里的任何点，

$$3x+4y=\underbrace{5(2-x)}_{\le 0}+\underbrace{4(2x+y-7)}_{\le 0}+18\ \le\ 18$$

⑤ 找取等点。 等号成立需要两个 $\le 0$ 的项同时为 $0$（系数 $5$、$4$ 都是正的，所以每一项都必须自己等于零）：

$$2-x=0\ \Rightarrow\ x=2,\qquad 2x+y-7=0\ \Rightarrow\ y=7-4=3$$

得候选点 $(2,3)$。还要验它满足第三条约束（那一条的系数是 $0$，前面的放缩没管它）：$x-y-2=2-3-2=-3\le 0$ ✓。

所以 $(2,3)$ 确实在可行域里，$z$ 在那里取到 $18$，上界够得着。$z_{\max}=18$，选 B。

这两条路差在哪

• 解法一是几何的：先把区域画出来，用「线性函数的最值在顶点」把候选压到三个点，再平移目标直线（或直接比三个数）定出是哪一个。它直观，但依赖画图与斜率判断，第一步就要动笔画坐标系。
• 解法二是代数的：一根线都不画，把目标式凑成约束的非负组合，一步得出 $\le 18$，再由「哪几条约束被卡死」反推取等点。它给出的是一份证明——每一步都可以逐字复核，不受画图精度影响。

第一个实质动作就分岔了（画区域 vs 凑系数），依赖的东西也不同（顶点最优性与斜率比较 vs 不等式的两条基本性质），所以是两条路。

各自的用武之地：约束只有两三条、维数是二时，解法一快且不易错；变量一多（三个以上就画不出图了）或者题目要的是证明而非答案时，只有解法二能走。反过来，解法二要试配系数，约束多的时候试起来麻烦，而解法一的图给了它一个提示——图上看出哪两条边界卡住最优点，就先把第三条的系数设成 $0$，一次就能配中。两条路互相搭台，不必二选一。

🕳️ 避坑

• 平移方向别弄反。 $z=3x+4y$ 里 $y$ 的系数 $4>0$，所以往上推 $z$ 才变大。推反了会停在 $(2,0)$，得 $6$——正是选项 D，也就是这道题的最小值。动笔之前先把「$b=4>0$ ⇒ 向上」写在草稿上。
• 别挑「纵坐标最高」的顶点。 平移比的是截距 $y+\tfrac34x$，不是 $y$。本题两者恰好都指向 $(2,3)$，纯属巧合——把目标换成 $z=4x+y$，截距最大的就变成了 $(3,1)$，而纵坐标最高的仍是 $(2,3)$，这时按纵坐标挑就错了。稳妥的判法是比相邻两条边的斜率，或者干脆把顶点全算一遍。
• 顶点必须联立解，不能目测。 图上看着像 $(2,3)$ 就写 $(2,3)$，遇到坐标不是整数的题一定翻车。三个顶点都要由两条边界直线联立得出。
• 先确认可行域有界。 无界区域上最大值可能不存在，「比顶点」这一招就失效了。本题由 $x\ge 2$ 与 $x\le 3$ 夹住，是有界的。
• 半平面取哪一侧要代点验。 $x-2\ge 0$ 取的是 $x=2$ 的右侧（原点代进去不满足，故取对侧）。三条里只有这一条与原点异侧，最容易画反；一旦画反，可行域整块就错了。
• 配系数那条路，两处不能省：解出的 $\lambda$ 必须全部非负（有负的就作废），以及取等点必须回代验其余约束（本题要验 $x-y-2\le 0$）。少任何一处，得到的都只是一个「看起来对」的数。