浙江 2020 · 数学 q06

转着看 · 换个机位再判断

三条不过同一点的直线 $m$、$n$、$l$：「在同一平面」是「两两相交」的什么条件？① $\alpha$ 内三条平行线 —— 在同一平面成立、两两相交不成立 ⟹ 不充分；② 两两相交且交点互不相同 ⟹ 三个交点必不共线、定出唯一平面 ⟹ 在同一平面 ⟹ 必要；③ 三线共点时两两相交成立而在同一平面可以不成立（三棱锥的三条侧棱）——题设那句「不过同一点」就是为 ② 兜底。合起来：「在同一平面」是「两两相交」的必要不充分条件，选 B

机位1题图角度2正对 α3沿 α 看4俯视自由视角

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冷启动：先把两句话和四个选项各就各位

题面给的是空间中不过同一点的三条直线 $m$、$n$、$l$，要比的是两句话：

• 甲：$m$、$n$、$l$ 在同一平面（下面简称「共面」）；
• 乙：$m$、$n$、$l$ 两两相交。

问的是「甲是乙的（　）条件」。四个选项就是两个箭头的四种真假组合，翻译表是死的：

方向别读反：「甲是乙的充分条件」说的是甲 $\Rightarrow$ 乙（有甲就够了）， 「甲是乙的必要条件」说的是乙 $\Rightarrow$ 甲（没甲就没乙）。开工前先在草稿上画下这两个箭头。

还有一句题设值得先圈出来：「不过同一点」。它看着像凑字数，实际是整道题的胜负手—— 下面两条路的必要性都要在最后一步用到它。

解法一：两个方向各判一次：一个反例断充分，反证法立必要

怎么想到的。 判条件题只有一个固定动作：两个方向分开判。判「成立」要给完整推理， 判「不成立」只需要一个反例。先挑便宜的那一边做：反例比证明好找，所以从甲 $\Rightarrow$ 乙 下手。

① 甲 $\Rightarrow$ 乙：造一个反例就够。 取一个平面 $\alpha$，在里面画三条互相平行的直线， 分别叫 $m$、$n$、$l$。逐条验题设：

• 是空间中的三条直线 ✓；
• 互不重合 ✓；
• 不过同一点 ✓（它们连一个公共点都没有，当然不会三条共过一点）。

这个实例里，甲成立（三条都在 $\alpha$ 内），而乙不成立（一对相交的都没有）。 于是甲推不出乙，不充分。

（换一个反例也一样：两条平行、第三条与它们都相交——同样共面，同样不是两两相交。 「共面」只管它们装在同一张纸上，管不着它们在纸上碰不碰得着。）

② 乙 $\Rightarrow$ 甲：先把交点固定下来。 设乙成立。$m$ 与 $n$ 相交，记交点为 $A$。 这里顺带一句：两条不重合的直线至多一个公共点——有两个公共点的话，由「两点确定一条直线」 它们就是同一条了。所以 $m\cap n$ 恰好是 $\{A\}$。

$m$、$n$ 是两条相交直线，由两条相交直线确定一个平面，得到唯一的平面 $\alpha$，且 $m\subset\alpha$、$n\subset\alpha$。

③ 反设 $l\not\subset\alpha$，推出矛盾。 由乙，$l$ 与 $m$ 交于某点 $B$，$l$ 与 $n$ 交于某点 $C$。 因为 $m\subset\alpha$、$n\subset\alpha$，所以 $B\in\alpha$、$C\in\alpha$；而 $B$、$C$ 又都在 $l$ 上。

• 若 $B\ne C$：$l$ 上有两个不同的点落在 $\alpha$ 内，由基本事实 2（一条直线上的两个点在一个平面内， 则这条直线在这个平面内）得 $l\subset\alpha$——与反设矛盾。
• 于是只能 $B=C$：这个点既在 $m$ 上又在 $n$ 上，而 $m\cap n=\{A\}$，所以 $B=C=A$。 这意味着 $m$、$n$、$l$ 三条直线都过点 $A$——与题设「不过同一点」矛盾。

两种情形都矛盾，反设不成立，故 $l\subset\alpha$。三条直线全在 $\alpha$ 里，甲成立。 乙 $\Rightarrow$ 甲 成立，即甲是必要的。

④ 对号入座。 甲 $\Rightarrow$ 乙 假（①）、乙 $\Rightarrow$ 甲 真（②③）。 「甲是乙的充分条件」说的就是甲 $\Rightarrow$ 乙、「甲是乙的必要条件」说的就是乙 $\Rightarrow$ 甲， 所以甲是乙的必要不充分条件，选 B。

⑤ 「不过同一点」到底用在哪。 就用在 ③ 的最后一步。少了这一句，必要性立刻垮掉： 三棱锥 $S\text-ABC$ 的三条侧棱 $SA$、$SB$、$SC$ 两两相交（都在 $S$ 处），却撑不出一个平面—— 那时乙成立而甲不成立，两个方向就都假了，答案会变成 D。题面写那六个字，就是为了把这一支堵死。

解法二：三个交点定一个平面，正面把必要性一次做完

怎么想到的。 解法一的必要性走的是反证：先假设 $l$ 不在那个平面里再撞矛盾。 但「两两相交」本身就交出了三个点，而不共线的三点确定一个平面—— 既然平面可以直接造出来，不如正面造，一步到位。

① 甲 $\Rightarrow$ 乙 仍然不成立。 反例照旧现成：在一个平面里画三条互相平行的直线。 它们互不重合、没有任何公共点（因而满足题设的「不过同一点」），共面成立而两两相交不成立。 所以甲不充分——这一条与走哪条路无关。

② 乙 $\Rightarrow$ 甲：先把三个交点摆出来。 设乙成立，记

$$P=m\cap n,\qquad Q=m\cap l,\qquad R=n\cap l$$

（每个都只有一个点：两条不重合的直线若有两个公共点，由「两点确定一条直线」就成了同一条。）

③ 这三个点互不相同。 若 $P=Q$，这个点同时落在 $m$、$n$、$l$ 三条线上， 三条直线就过同一点了——与题设矛盾。$P=R$、$Q=R$ 同理。所以 $P$、$Q$、$R$ 两两不同。

④ 这三个点还必不共线。 反设它们都在某条直线 $t$ 上。$P$、$Q$ 都在 $m$ 上，且 $P\ne Q$， 由「两点确定一条直线」得 $t=m$；同样 $P$、$R$ 都在 $n$ 上且 $P\ne R$，得 $t=n$。 于是 $m=n$，与「三条直线」（互不重合）矛盾。故 $P$、$Q$、$R$ 不共线。

⑤ 造平面，再把三条线拉进去。 由基本事实 1，不共线的三点 $P$、$Q$、$R$ 确定唯一的平面 $\alpha$。 接着逐条用基本事实 2：

三条直线全在 $\alpha$ 内，甲成立。乙 $\Rightarrow$ 甲 成立。

⑥ 对号。 甲推不出乙（①）、乙推得出甲（②–⑤），故甲是乙的必要不充分条件，选 B。

⑦ 这条路把「不过同一点」用在了 ③。 没有那一句，$P$、$Q$、$R$ 就可能挤成同一个点， 「三点定平面」当场失效——三棱锥 $S\text-ABC$ 的三条侧棱正是这种情形：两两相交，可三个交点 全是同一个顶点 $S$，撑不出平面。

两条路差在哪。 必要性的证法不同：解法一反证——先假设 $l$ 不在 $m$、$n$ 定出的那个平面里， 再让「$l$ 与 $\alpha$ 有两个公共点」和「三线共点」两条路都撞墙；解法二正面构造—— 三个交点先摆出来，验它们不重合、不共线，直接用不共线三点把平面造出来，再把三条线一条条拉进去。 解法一只需要一个已有的平面（$m$、$n$ 定的那个），解法二需要三个点；前者步骤短， 后者的主干（造平面、再把三条线拉进去）是正面推的，读起来更顺——不过它的 ③④ 各开了一次 局部反设（「若 $P=Q$…」「反设三点共线…」），只是没把整条必要性挂在一个大反设上。 充分性那一边两条路完全一样：一个反例，一句话。

值得记住的是它们共用的那个句式：判条件题永远是两个箭头分开判，反例只要一个，正推要给全。

🕳️ 避坑

• 「甲是乙的…条件」的方向。 充分说的是甲 $\Rightarrow$ 乙，必要说的是乙 $\Rightarrow$ 甲。 两个箭头写反，B 和 A 就换了位置——这道题四个选项的分歧全在这里。
• 只判一个方向就交卷。 找到反例就选 D、证出一个方向就选 C，是这类题最常见的两种半途而废。
• 「不过同一点」不是废话。 它是把「三棱锥的三条侧棱」那个反例堵死的唯一一句。 题面里出现「不共点」「三个交点互不相同」这类字眼，一律当作要用的条件圈出来。
• 举反例要把题设逐条验一遍。 三条平行线之所以是合法反例，是因为它同时满足「三条直线」 「不过同一点」；漏验一条，它就不是反例。
• 「两两平行」不等于「共面」。 三棱柱的三条侧棱两两平行却不共面。官方解析里列的 「三条直线两两平行」只是共面时可能出现的一种形态，不能反过来当判据用。

综上，甲推不出乙、乙推得出甲，故「$m$，$n$，$l$ 在同一平面」是「$m$，$n$，$l$ 两两相交」的 必要不充分条件，选 B。