两两相交的三条直线未必共面

易错点

课本上「两条相交直线确定一个平面」用惯了，很容易顺手推广成

三条直线两两相交 $\Rightarrow$ 三条直线共面

这句话是错的。 反例就在手边：三棱锥 $S\text-ABC$ 的三条侧棱 $SA$、$SB$、$SC$，两两都在 $S$ 处相交，可它们显然不在同一个平面里（否则四面体就压扁了）。教室墙角的三条棱、 正方体一个顶点处的三条棱，都是同款反例。

分水岭是三个交点重不重合：

不共点时为什么一定共面

设 $P=m\cap n$、$Q=m\cap l$、$R=n\cap l$。三线不共点，$P$、$Q$、$R$ 就两两不同 （两个交点若重合，那个点就同时落在三条线上）。它们还必然不共线：若共线于直线 $t$， 则 $t$ 上有 $m$ 的两个不同点 $P$、$Q$，故 $t=m$；也有 $n$ 的两个不同点 $P$、$R$，故 $t=n$； 于是 $m=n$，三条直线就不互异了。

三个不共线的点定出唯一平面 $\alpha$（基本事实 1）。$m$ 过 $P$、$Q$ 两点，$n$ 过 $P$、$R$， $l$ 过 $Q$、$R$——每条直线都有两个点落在 $\alpha$ 内，由基本事实 2 三条线全在 $\alpha$ 里。

关键正是「不共点」把三个交点撑开了。 共点时三个交点挤成一个，三点定平面用不上，结论随之作废。

自查

题面里出现「不过同一点」「不共点」「三个交点互不相同」这类字眼时，它不是废话，是把反例堵死的那一句。 反过来，题面没有这一句而要你判「两两相交 $\Rightarrow$ 共面」，答案八成是「不一定」。