平面的基本事实

教材原文（一）：基本事实 1 与 2，§8.4.1

基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面（图8.4-3）.

基本事实 1 给出了确定一个平面的依据. 它也可以简单说成 “不共线的三点确定一个平面”. 不在一条直线上的三个点 A, B, C 所确定的平面, 可以记成平面 ABC.

基本事实 2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内（图 8.4-4）.

$A \in l, B \in l, \text {且} A \in \alpha , B \in \alpha \Rightarrow l \subset \alpha .$

教材原文（二）：基本事实 3 与三个推论，§8.4.1

基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（图8.4-7）.

推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.

三条基本事实各管什么

「有且只有」这四个字是两句话：「有」保证造得出来（存在），「只有」保证造出来的是同一个（唯一）。 证共面时用的是「有」，证「必须是那个平面」时用的是「只有」。

四种确定平面的方式

基本事实 1 加上三个推论，给出互相等价的四张入场券——手里有其中任何一样，就有唯一一个平面：

1. 不共线的三点（基本事实 1）；
2. 一条直线和这条直线外一点（推论 1）；
3. 两条相交直线（推论 2）；
4. 两条平行直线（推论 3）。

后三条都是从基本事实 1 加基本事实 2 推出来的：在直线上取两点，与直线外那点凑成不共线三点， 先由基本事实 1 定出平面，再由基本事实 2 把整条直线拉进去。

要点

• 基本事实 2 是「证共面」的主力。要证一条直线在某平面内，不必逐点验，找出它上面的两个点在平面内就够。
• 基本事实 2 的逆用同样常见：若直线 $l$ 不在平面 $\alpha$ 内，则 $l$ 与 $\alpha$ 至多一个公共点—— 因为有两个公共点就会把 $l$ 拉进 $\alpha$。「不共面」的反证法几乎都从这一句起步。
• 基本事实 3 常被用来找交线：两个平面的两个公共点连起来，就是它们的交线。求截面时这是画线的唯一依据。
• 这三条是约定，不是定理，没有证明可讲；它们的地位相当于平面几何里的公理。

常见失手

• 「三点确定一个平面」漏掉「不共线」。共线的三点有无数个平面过它们（想象一根轴上挂着一叠纸）。
• 拿「两条直线」当入场券却没分清是相交还是平行。异面的两条直线不确定平面——不存在同时含它们的平面，这正是异面的定义。
• 把两个平面的交说成一个点。基本事实 3 说交出来的是一条直线：只要有一个公共点，就有一整条公共直线。