8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系

§8.1 到 §8.3 一直在看：看立体图形由什么组成、怎么画到纸上、表面积和体积怎么算。 用的手段是「直观感知」——看着像平行就是平行，看着相交就是相交。这一节（§8.4.1）换挡： 从这里开始，立体几何要讲证明。

证明需要起点。平面几何的起点是初中那几条（两点确定一条直线、同位角相等两直线平行……）， 立体几何的起点就是这一节的三条基本事实。它们不加证明——课本原话是「人们经过长期观察与 实践总结出来的」——但后面整章的判定定理、平行与垂直的全部推理，都是从这三条加上初中的平面 几何长出来的。

所以这一节的内容其实只有三件事：三条基本事实、它们衍生的三个推论、 以及点线面之间那套符号写法。下面按这个顺序讲。

一、三条基本事实各管什么

先把三条并排摆出来，各配一个现实里的经验（课本给的就是这三个）：

三条各有一句最该记住的话：

• 基本事实 1 里，「不共线」这三个字是命门。 共线的三点定不出平面——想象一根穿了一叠纸的 轴，那一叠纸上每一张都过这三个点，有无穷多个。所以「三点确定一个平面」是错的， 「不共线的三点确定一个平面」才对。
• 基本事实 2 的价值在于「只验两个点」。 要证一条直线躺在某个平面里，本来要验无穷多个点； 它把这件事压缩成验两个。它还有一条极常用的逆用：若直线 $l$ 不在平面 $\alpha$ 内， 则 $l$ 与 $\alpha$ 至多一个公共点——因为有两个公共点就会被拉进去。 「不共面」类结论的反证法，几乎都从这句话起步。
• 基本事实 3 说交出来的是「线」，不是「点」。 只要有一个公共点，就有一整条公共直线。 两个平面要么不相交，要么交于一条直线，没有「只交于一点」这种情形。

「有且只有」是两句话

基本事实 1 和 3 里都有「有且只有」四个字，它压缩了两句独立的话：

• 「有」= 存在：那个平面（那条交线）造得出来；
• 「只有」= 唯一：造出来的是同一个，换个造法结果不变。

证「共面」用的是「有」，证「必须是那个平面」用的是「只有」。做题时被跳过的几乎总是后者， 而唯一性正是「过 $A$、$B$、$C$ 的平面就是平面 $ABC$」这种写法能成立的理由。

二、符号写法：这一节最容易在卷面上扣分的地方

课本在这一节顺手立了一套符号，规则只有一条：看两边各是什么东西。

于是基本事实 2 可以整句写成一行：

两种错法各扣一次分：把「直线在平面内」写成 $l\in\alpha$（把整条直线当成一个元素）， 或者把「点在平面内」写成 $A\subset\alpha$（把一个点当成一个集合）。判断办法很机械—— 左边是点就用 $\in$，左边是线或面就用 $\subset$ / $\cap$。

三、四张「确定平面」的入场券

基本事实 1 只给了一张券（不共线的三点）。课本紧接着由它加基本事实 2 推出三个推论， 把券扩成四张——手里有其中任何一样，就有唯一一个平面：

1. 不共线的三点（基本事实 1）；
2. 一条直线和这条直线外一点（推论 1）；
3. 两条相交直线（推论 2）；
4. 两条平行直线（推论 3）。

三个推论的证法是同一个套路： 先凑出三个不共线的点用基本事实 1 造平面，再用基本事实 2 把直线拉进去。 课本只写了推论 1 的说明，另两个留给读者，这里补完。

推论 1（一条直线 $a$ 与 $a$ 外一点 $A$）。 在 $a$ 上任取两点 $B$、$C$。因为 $A\notin a$， $A$、$B$、$C$ 不共线，由基本事实 1 得唯一平面 $\alpha$。$B$、$C$ 都在 $\alpha$ 内， 由基本事实 2 得 $a\subset\alpha$，所以 $\alpha$ 过 $a$ 与 $A$。 唯一性：任何过 $a$ 与 $A$ 的平面都含 $A$、$B$、$C$ 三点，而过这三点的平面只有 $\alpha$ 一个。

推论 2（两条相交直线 $a$、$b$）。 设 $a\cap b=\{O\}$。在 $a$ 上取 $A\ne O$、在 $b$ 上取 $B\ne O$。 $A$、$O$、$B$ 不共线——若共线，那条线过 $A$、$O$ 就是 $a$、过 $O$、$B$ 就是 $b$，于是 $a=b$， 与「两条相交直线」矛盾。由基本事实 1 得唯一平面 $\alpha$ 过这三点，再由基本事实 2， $a$（过 $A$、$O$）与 $b$（过 $O$、$B$）都在 $\alpha$ 内。唯一性同推论 1。

推论 3（两条平行直线 $a$、$b$）。 存在性由平行的定义直接给出——空间里说两条直线平行， 首先就要求它们在同一平面内，其次不相交。唯一性：在 $a$ 上取 $A$、$B$，在 $b$ 上取 $C$。 $C\notin a$（否则 $a$、$b$ 有公共点，不再平行），故 $A$、$B$、$C$ 不共线， 过它们的平面只有一个；而任何同时含 $a$、$b$ 的平面都含这三点。

反过来记住哪些不是入场券：一个点、一条直线、共线的三点、两条异面直线—— 都定不出平面。最后那一条尤其要紧：两条异面直线不存在同时包含它们的平面，那正是异面的定义。

四、这三条在题目里长什么样

三类动作，认出是哪一类，题就有了方向：

动作一：证共面。 目标是「这几条线（这几个点）在同一个平面里」。做法固定两步—— 先用四张券里的一张造出一个平面，再用基本事实 2 把剩下的线拉进去。

动作二：证共线。 要证 $A$、$B$、$C$ 三点共线，标准手法是证它们同时在两个不重合的平面上： 由基本事实 3，这两个平面交于一条直线，而三个点都是两平面的公共点，于是都落在这条交线上。 「求交线」与「证共线」在这里是同一件事的两面。

动作三：找交线、作截面。 两个平面的交线由两个公共点决定：找到两个都属于两平面的点， 连起来就是交线（基本事实 3 保证它是唯一的那条，基本事实 2 保证连线整条都在两个平面里）。 作截面题的每一条线都是这么画出来的。

课本末尾那个例子（图 8.4-10）就是动作一的生活版：用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直， 两根绳相交 $\Rightarrow$ 由推论 2 它们确定一个平面 $\Rightarrow$ 四条腿的底端都在这个平面内。 绳子不相交（异面），四点就不共面，桌子放不平。 「怎么判断四点共面」这个问题，被换成了「两条对角连线相不相交」这个看得见的事实—— 这是本节全部技术的缩影。

五、易错清单

按失分频率排：

1. 「三点确定一个平面」漏掉「不共线」。 这是本节最经典的一处，也是所有「四点共面」题的第一道坎。
2. 符号写错：$l\in\alpha$、$A\subset\alpha$。左边是点用 $\in$，左边是线用 $\subset$。
3. 把两个平面的交说成一个公共点。 基本事实 3 说的是一条直线；「两个平面只有一个公共点」 这种情形不存在。
4. 只证存在不证唯一。 「有且只有」是两句话，唯一性那半常被跳过（三个推论的唯一性都要单独说一句）。
5. 把「两两相交」当成「共面」的充分条件。 三条直线两两相交时，若它们共点（如三棱锥的 三条侧棱），照样不共面——必须先排除共点这一支。2020 年第 6 题整道题就压在这一条上。
6. 忘了平面是无限延展的。 图上那个平行四边形只是平面的一部分。两个「看起来分开」的平面 延展之后完全可以相交；判断位置关系不能只看画出来的那一块。
7. 拿两条异面直线当入场券。 「过 $a$、$b$ 作平面」这句话，只有在 $a$、$b$ 相交或平行时才成立。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方「考过本节的真题」是构建期从知识图谱派生的完整清单。

• 2020 年第 6 题（三条不过同一点的直线，「在同一平面」是「两两相交」的什么条件）： 它几乎是本节的定制题——两条解法一条用基本事实 2 的逆用做反证、一条用基本事实 1 正面 造平面，把本节最要紧的两条各练了一遍；而题面那句「不过同一点」正是易错清单第 5 条的开关。 做完它再回头看第三节那四张券，会清楚很多。