浙江 2023 · 数学 q07

题面

7．（5分）（2023•新高考Ⅰ）记$S_{n}$为数列$\left\{a_{n} \right\}$的前n项和，设甲：$\left\{a_{n} \right\}$为等差数列；$\mathrm{Z} \colon \{\frac{S_{n}}{n} \}$为等差数列，则（ ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

7．（5分）（2023•新高考Ⅰ）记$S_{n}$为数列$\left\{a_{n} \right\}$的前n项和，设甲：$\left\{a_{n} \right\}$为等差数列；${\cal Z} : \{\frac{S_{n}}{n} \}$为等差数列，则（ ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案

C

解析

分析

首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的论证

解答

解：若$\left\{a_{n} \right\}$是等差数列，设数列$\left\{a_{n} \right\}$的首项为$a_{1}$，公差为$d ,$则$S_{n}{=} n a_{1}{+} \frac{n ( n {-} 1 )}{2} d ,$即$\frac{S_{n}}{n} = a_{1} + \frac{n - 1}{2} d = \frac{d}{2} n + a_{1} - \frac{d}{2} ,$故$\{{\frac{S_{n}}{n}} \}$为等差数列，即甲是乙的充分条件反之，若$\{{\frac{S_{n}}{n}} \}$为等差数列，则可设$\cdot \frac{S_{n + 1}}{n + 1} - \frac{S_{n}}{n} = D$则${\frac{S_{n}}{n}} = S_{1} + \ ( n - 1 ) \ D$，即$S_{n}{=} n S_{1}{+} n \ ( n - 1 ) \ D$当$n {\geqslant} 2$时，有$S_{n - 1}{= \ ( n - 1 ) \ S_{1} + \ ( n - 1 ) \ ( n - 2 ) \ D}$

上两式相减得：$a_{n}{=} S_{n} - S_{n - 1}{=} S_{1}{+} 2 \ ( n - 1 ) \ D$

当$n {=} 1$时，上式成立，所以$a_{n}{=} a_{1}{+} 2 \ \left( n - 1 \right) \ D$

则$a_{n + 1} - a_{n} = a_{1} + 2 n D - [a_{1} + 2 ( n - 1 ) D] = 2 D$（常数），

所以数列$\left\{a_{n} \right\}$为等差数列

即甲是乙的必要条件

综上所述，甲是乙的充要条件

故本题选：C