等差数列的基本量

题型说明

• 常见问法：给若干项、和、或项之间的等量关系，求通项 $a_n$、公差 $d$、首项 $a_1$ 或某一项 / 和。
• 主线：把每个条件用基本量 $a_1,d$ 表示（通项 $a_n=a_1+(n-1)d$、前 $n$ 项和 $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d$），列方程组解出 $a_1,d$，再回代。
• 变形：当另有「某商式 / 某组合也是等差」之类的结构条件时，先据此定出 $a_n$ 的形式（如 $a_n$ 必正比于 $n$ 或 $n+1$），再代入基本量列方程。

常见陷阱

• 解出 $d$（或 $a_1$）有两根时，忘记用题设范围（如 $d>1$）取舍，甚至漏掉「某一整类参数无解」。
• 求和公式里 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 与通项里的 $(n-1)$ 写串。