浙江 2023 · 数学 q20

冷启动：把 bₙ 写成 n(n+1)/aₙ

等差数列 $\{a_n\}$ 公差 $d>1$，记 $a_n=a_1+(n-1)d$。题给

$$b_n=\frac{n^2+n}{a_n}=\frac{n(n+1)}{a_n}$$

$S_n,T_n$ 是 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和。两问都是把条件翻译成关于 $a_1,d$ 的方程（等差数列的基本量），第 (2) 问多一步：先用「$b_n$ 也是等差」把 $a_n$ 的形定下来。

解法一：等差基本量列方程，(2) 整除定形式分两类

（1）求通项公式

把条件用 $a_1,d$ 写开。由 $3a_2=3a_1+a_3$：

$$3(a_1+d)=3a_1+(a_1+2d)\ \Rightarrow\ 3a_1+3d=4a_1+2d\ \Rightarrow\ a_1=d$$

于是 $a_n=nd$，从而 $a_1=d,a_2=2d,a_3=3d$。算两个和：

$$S_3=a_1+a_2+a_3=6d$$ $$T_3=\frac{1\cdot2}{a_1}+\frac{2\cdot3}{a_2}+\frac{3\cdot4}{a_3}=\frac{2}{d}+\frac{6}{2d}+\frac{12}{3d}=\frac{2+3+4}{d}=\frac{9}{d}$$

代入 $S_3+T_3=21$：$6d+\dfrac9d=21$，乘 $d$ 得 $6d^2-21d+9=0$，即 $2d^2-7d+3=0$，$(2d-1)(d-3)=0$。由 $d>1$ 取 $d=3$（见求出公差后漏用范围取舍，$d=\tfrac12$ 舍）。故 $a_1=3$，

$$a_n=3n\quad(n\in\mathbf{N}^*)$$

（2）由 bₙ 等差定 aₙ 的形式，分两类求 d

怎么想到的。 $\{b_n\}$ 等差 $\Rightarrow$ $b_n$ 是 $n$ 的一次式。设 $a_n=pn+q$（$p=d>1$），则

$$b_n=\frac{n(n+1)}{pn+q}$$

要它是 $n$ 的一次多项式，分母 $pn+q$ 必须整除分子 $n(n+1)$。而 $n(n+1)$ 的根是 $0,-1$，所以 $pn+q$ 的根 $-\dfrac{q}{p}$ 只能取 $0$ 或 $-1$，即 $q=0$ 或 $q=p$。这就把 $a_n$ 的形式钉成两类（分类讨论）：

• 类 A：$a_n=tn$（$t=d$），此时 $b_n=\dfrac{n+1}{t}$。
• 类 B：$a_n=k(n+1)$（$k=d$），此时 $b_n=\dfrac{n}{k}$。

类 A（$a_n=tn,b_n=\frac{n+1}{t},d=t>1$）：

$$S_{99}=\sum_{n=1}^{99}tn=t\cdot\frac{99\cdot100}{2}=4950\,t$$ $$T_{99}=\sum_{n=1}^{99}\frac{n+1}{t}=\frac{1}{t}\sum_{n=1}^{99}(n+1)=\frac{1}{t}\cdot\frac{(2+100)\cdot99}{2}=\frac{5049}{t}$$

由 $S_{99}-T_{99}=99$：$4950t-\dfrac{5049}{t}=99$，除以 $99$ 得 $50t-\dfrac{51}{t}=1$，即 $50t^2-t-51=0$，$(50t-51)(t+1)=0$。由 $t>1$ 取 $t=\dfrac{51}{50}$（$t=-1$ 舍）。

类 B（$a_n=k(n+1),b_n=\frac{n}{k},d=k>1$）：

$$S_{99}=\sum_{n=1}^{99}k(n+1)=k\cdot5049,\qquad T_{99}=\sum_{n=1}^{99}\frac{n}{k}=\frac{4950}{k}$$

由 $S_{99}-T_{99}=99$：$5049k-\dfrac{4950}{k}=99$，除以 $99$ 得 $51k-\dfrac{50}{k}=1$，即 $51k^2-k-50=0$，$(k-1)(51k+50)=0$，根 $k=1$ 或 $k=-\dfrac{50}{51}$，都不满足 $k>1$ —— 此类无解。

综合，$d=\dfrac{51}{50}$。

这题的关键在哪。 (1) 是基本量的常规列方程；真正的戏在 (2) 的「整除定形式」：$b_n=\dfrac{n(n+1)}{a_n}$ 要等差，就逼着 $a_n$ 的常数项只能是 $0$ 或等于公差，于是 $a_n$ 只可能是 $tn$ 或 $k(n+1)$——看懂这一步，两类就自然冒出来，而不是凭空猜两种设法。两类走完同一套「代入 $S_{99}-T_{99}$ 解二次方程 + 用 $d>1$ 取舍」，类 A 留下 $\tfrac{51}{50}$、类 B 整类无解。

🕳️ 避坑

• $d>1$ 要处处用：(1) 的 $2d^2-7d+3=0$ 舍 $d=\tfrac12$；(2) 类 A 的 $50t^2-t-51=0$ 舍 $t=-1$；类 B 的 $51k^2-k-50=0$ 两根 $1,-\tfrac{50}{51}$ 都不 $>1$，整类无解——这三处任何一处忘了范围，答案就错（见求出公差后漏用范围取舍）。
• $T_3$ 别算错分母：$b_2=\dfrac{6}{a_2}=\dfrac{6}{2d}=\dfrac3d$、$b_3=\dfrac{12}{3d}=\dfrac4d$，约分后分子是 $2,3,4$ 而非 $2,6,12$。
• 整除那步的方向：是「分母 $pn+q$ 整除分子 $n(n+1)$」，靠 $n(n+1)$ 的两个根 $0,-1$ 定 $q$，别反过来去凑 $b_n$ 的差为常数（也能做，但方程更繁）。

故（1）$a_n=\boxed{3n}\ (n\in\mathbf{N}^*)$；（2）$d=\boxed{\dfrac{51}{50}}$。