5.3 导数在研究函数中的应用

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5.3 导数在研究函数中的应用

在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质。在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化。能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题。

5.3.1 函数的单调性

我们先来研究前面学习过的跳水问题.

思考

图 5.3-1(1) 是某跳水运动员的重心相对于水面的高度 h 随时间 t 变化的函数 $h(t) = -4.9t^{2} + 4.8t + 11$ 的图象，图 5.3-1(2) 是跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 $v(t) = h'(t) = -9.8t + 4.8$ 的图象。 $a = \frac{24}{49}$ ，b 是函数 $h(t)$ 的零点。

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？

观察图象可以发现:

(1) 从起跳到最高点, 运动员的重心处于上升状态, 离水面的高度 $h$ 随时间 $t$ 的增加

而增加，即 $h(t)$ 单调递增．相应地， $v(t)=h'(t)>0$ .

（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度 $h$ 随时间 $t$ 的增加而减小，即 $h(t)$ 单调递减。相应地，$v(t) = h'(t) < 0$。

思考

我们看到，函数 $h(t)$ 的单调性与 $h^{\prime}(t)$ 的正负有内在联系。那么，我们能否由 $h^{\prime}(t)$ 的正负来判断函数 $h(t)$ 的单调性呢？

对于上述跳水问题，可以发现：

当 $t \in (0, a)$ 时，$h'(t) > 0$，函数 $h(t)$ 的图象是“上升”的，函数 $h(t)$ 在 $(0, a)$ 内单调递增；

当 $t \in (a, b)$ 时，$h'(t) < 0$，函数 $h(t)$ 的图象是“下降”的，函数 $h(t)$ 在 $(a, b)$ 内单调递减.

这种情况是否具有一般性呢？

观察

观察下面一些函数的图象（图 5.3-2），探讨函数的单调性与导数的正负的关系.

如图 5.3-3，导数 $f'(x_{0})$ 表示函数 $y=f(x)$ 的图象在点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 处的切线的斜率。可以发现：

在 $x=x_{0}$ 处， $f'(x_{0})>0$ ，切线是“左下右上”的上升式，函数 $f(x)$ 的图象也是上升的，函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 附近单调递增；

在 $x = x_{1}$ 处，$f'(x_{1}) < 0$，切线是“左上右下”的下降式，函数 $f(x)$ 的图象也是下降的，函数 $f(x)$ 在 $x = x_{1}$ 附近单调递减.

图5.3-3

一般地，函数 $f(x)$ 的单调性与导函数 $f'(x)$ 的正负之间具有如下的关系：

在某个区间 $(a, b)$ 内，如果 $f'(x) > 0$，那么函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内单调递增；

在某个区间 $(a, b)$ 内，如果 $f'(x) < 0$，那么函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内单调递减.

如果在某个区间上恒有 $f'(x) = 0$ ，那么函数$f(x)$ 有什么特性？

例 1 利用导数判断下列函数的单调性:

(1) $f(x) = x^3 + 3x$; (2) $f(x) = \sin x - x, x \in (0, \pi)$;

(3) $f(x)=\frac{x-1}{x}.$

解：（1）因为 $f(x) = x^{3} + 3x$ ，所以

$f ^ {\prime} (x) = 3 x ^ {2} + 3 = 3 (x ^ {2} + 1) > 0.$

所以，函数 $f(x) = x^{3} + 3x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，如图5.3-4(1）所示.

(2) 因为 $f(x)=\sin x-x,\quad x\in(0,\pi)$ ，所以

$f ^ {\prime} (x) = \cos x - 1 < 0.$

所以，函数 $f(x) = \sin x - x$ 在 $(0, \pi)$ 内单调递减，如图5.3-4(2)所示.

(3) 因为 $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$，$x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，所以

$f ^ {\prime} (x) = \frac {1}{x ^ {2}} > 0.$

所以，函数 $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 上单调递增，如图5.3-4(3）所示.

例 2 已知导函数 $f'(x)$ 的下列信息：

当 $1 < x < 4$ 时，$f'(x) > 0$;

当 $x < 1$ ，或 $x > 4$ 时，$f'(x) < 0$

当 $x = 1$ ，或 $x = 4$ 时， $f^{\prime}(x) = 0.$

试画出函数 $f(x)$ 图象的大致形状.

解：当 $1 < x < 4$ 时，$f'(x) > 0$，可知 $f(x)$ 在区间（1，4）内单调递增；

当 $x < 1$ ，或 $x > 4$ 时，$f'(x) < 0$ ，可知 $f(x)$ 在区间 $(- \infty, 1)$ 和 $(4, +\infty)$ 上都单调递减；

当 $x = 1$ ，或 $x = 4$ 时， $f^{\prime}(x) = 0$ ，这两点比较特殊，我们称它们为“稳定点”.

图5.3-5

综上，函数 $f(x)$ 图象的大致形状如图 5.3-5 所示.

思考

请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数 $y = f(x)$ 的平均变化率的几何意义与 $f'(x)$ 的正负的关系.

练习

1. 判断下列函数的单调性： (1) $f(x)=x^{2}-2x+4;$ (2) $f(x)=\mathrm{e}^{x}-x.$

2. 利用导数讨论二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的单调区间.

3. 函数 $y = f(x)$ 的图象如图所示，试画出函数 $y = f'(x)$ 在区间（0，b）内图象的大致形状.

形如 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$) 的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性.

例3 求函数 $f(x) = \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - 2x + 1$ 的单调区间.

解：函数 $f(x) = \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - 2x + 1$ 的定义域为R. 对 $f(x)$ 求导数，得

$f ^ {\prime} (x) = x ^ {2} - x - 2 = (x + 1) (x - 2).$

令 $f^{\prime}(x) = 0$ ，解得

$x = - 1, \text {或} x = 2.$

$x = -1$ 和 $x = 2$ 把函数定义域划分成三个区间，$f'(x)$ 在各区间上的正负，以及 $f(x)$ 的单调性如表5.3-1所示.

所以， $f(x)$ 在 $(-\infty, -1)$ 和 $(2, +\infty)$ 上单调递增，在 $(-1, 2)$ 内单调递减，如图5.3-6所示.

如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？

一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数 $y=f(x)$ 的单调性：

第 1 步，确定函数的定义域；

第2步，求出导数 $f^{\prime}(x)$ 的零点；

第3步，用 $f'(x)$ 的零点将 $f(x)$ 的定义域划分为若干个区间，列表给出 $f'(x)$ 在各区间上的正负，由此得出函数 $y = f(x)$ 在定义域内的单调性.

探究

研究对数函数 $y=\ln x$ 与幂函数 $y=x^{3}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上增长快慢的情况.

对数函数 $y = \ln x$ 的导数为 $y' = \frac{1}{x} > 0$ ($x \in (0, +\infty)$)，所以 $y = \ln x$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上单调递增。当 $x$ 越来越大时，$y' = \frac{1}{x}$ 越来越小，所以函数 $y = \ln x$ 递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”（如图 5.3-7（1））。