分段函数

教材原文

像例 5 中 $y=\begin{cases}-x, & x<0, \\ x, & x\geqslant0\end{cases}$ 这样的函数称为分段函数. 生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等.

结合图 3.1-5，得出函数 $M(x)$ 的解析式为

定义

在定义域的不同部分用不同解析式表示的函数，叫做分段函数。

课本给它命名的方式很随意——画完 $y=|x|$ 的图象，顺口说了一句「像这样的函数称为分段函数」。 但它是后面一切「先判段」动作的名字，值得单独记住。

最要紧的一句：它是一个函数，不是几个函数

• 定义域 ＝ 各段定义域的并集；
• 值域 ＝ 各段值域的并集（不是各段值域的交，也不是某一段的值域）；
• 图象是各段图象拼起来的一条（可能断开的）曲线。

这一条决定了所有算法的形状：凡是问「$f$ 取遍哪些值」「解 $f(x)\le c$」，答案都是先逐段算、最后并起来。

以 $f(x)=\begin{cases} x^2+x, & x<0 \\ -x^2, & x\ge 0\end{cases}$ 为例： 左支 $x^2+x$ 在 $x=-\tfrac12$ 处取到最小值 $-\tfrac14$，往左无上界，值域是 $[-\tfrac14,+\infty)$； 右支 $-x^2$ 从 $0$ 一路降到 $-\infty$，值域是 $(-\infty,0]$。两段一并，$f$ 的值域是整个 $\mathbf{R}$。 只看某一段会得出「$f$ 有最小值」这种错结论，而实际上它没有。

用它做题只有两个动作

第二行那句「与该段的定义域取交」是失分重灾区：在 $x<0$ 这一段解出 $-2\le x\le 1$，能留下的只有 $[-2,0)$。

分界点归谁：照抄题面，别自己改

$x<0$ 与 $x\ge 0$，还是 $x\le 0$ 与 $x>0$，题面写得清清楚楚。 分界点归哪一段会实实在在地改变端点的开闭，进而改变答案里的方括号还是圆括号。 分段函数唯一容易含糊的地方就在这里，抄题时把不等号连同等号一起抄下来。

常见形态

• 绝对值拆开：$y=|x|$、$y=|x-2|$ 本身就是分段函数，拆开写才好画、好解。
• 取大取小：$M(x)=\max\{f(x),g(x)\}$、$m(x)=\min\{f(x),g(x)\}$。做法固定三步——同系画图、解 $f=g$ 找交点、按交点分段取上（下）包络。
• 实际背景的阶梯：出租车计费、个人所得税、公交票价。每一档一段，档与档的分界点归属由题面规定。