浙江 2021 · 数学 q12

解法一：由内往外逐次判段

这道题要算 $f[f(\sqrt{6})]$——一个嵌套：先算内层 $f(\sqrt{6})$，把结果当新的自变量再送进 $f$。分段函数的规矩是：每次代入之前，先判自变量落在哪一段。

① 内层：$f(\sqrt{6})$。 先判段：$\sqrt{6}\approx2.45>2$，走第一段 $f(x)=x^2-4$。代入：

$$f(\sqrt{6})=(\sqrt{6})^2-4=6-4=2$$

② 外层：$f(2)$。 内层算出的值是 $2$。再判段：$2\le2$，走第二段 $f(x)=|x-3|+a$。代入：

$$f(2)=|2-3|+a=1+a$$

③ 列方程解 $a$。 题面说 $f[f(\sqrt{6})]=3$，即

$$1+a=3\implies\boxed{a=2}$$

🕳️ 避坑

• 每次代入前先判段，别拿上一段的式子算下一段。 本题内层算出 $f(\sqrt{6})=2$，而 $2$ 恰好落在分界点上——题面写的是 $x\le2$ 用第二段，所以 $f(2)$ 必须用 $|x-3|+a$，不能用 $x^2-4$。分界点归哪一段，题面写得清清楚楚（$\le$ 还是 $<$），照抄别改。换一道题，分界点可能归另一边，或者内层的结果跑到完全不同的段上去——但纪律不变：代入之前先写一句「谁与分界点谁大」。