题型

分段函数求值与范围

给一个分段函数，求嵌套函数值 f(f(x0))f(f(x_0))，或求满足 m≤f(x)≤Mm \le f(x) \le M 的 xx 的范围。

题型说明

  • 常见问法：「已知 f(x)={…f(x)=\begin{cases}\dots\end{cases}，则 f(f(x0))=f(f(x_0))= ____；若当 x∈[a,b]x\in[a,b] 时 m≤f(x)≤Mm\le f(x)\le M，则 b−ab-a 的最大值是 ____。」两空常常各考一件事。
  • 它考的是「先判在哪一段，再用那一段的式子」这条纪律，以及逐段处理、最后取并的完整性。

两问两法

问的是怎么做
嵌套求值 f(f(x0))f(f(x_0))由内往外：先判 x0x_0 落在哪一段、算出 f(x0)f(x_0)；再判 f(x0)f(x_0) 落在哪一段、算出外层。两次判段缺一不可
满足 m≤f(x)≤Mm\le f(x)\le M 的 xx 的范围逐段解：在每一段的定义域内解不等式，解集与该段定义域取交；最后把各段的结果取并

「b−ab-a 的最大值」是什么意思

题目说「当 x∈[a,b]x\in[a,b] 时 m≤f(x)≤Mm\le f(x)\le M」——这要求 [a,b][a,b] 整个装进解集 SS 里：

[a,b]⊆S[a,b]\subseteq S

于是 b−ab-a 的最大值就是 SS 里最长的那个区间的长度。SS 恰好是一个区间时，答案就是它的长度；SS 断成几段时，要取最长的那一段（不能跨过缺口）。

常见陷阱

  • 越界代入：x0x_0 明明落在第二段却用了第一段的式子。每次代入前先写一句「x0x_0 与分界点谁大」。
  • 外层忘了重新判段：内层算出的 f(x0)f(x_0) 往往落在另一段上。
  • 各段解完忘了与该段定义域取交：在 x≤1x\le1 这一段解出 −1≤x≤3-1\le x\le 3，实际只能取 [−1,1][-1,1]。
  • 取并之后没检查是不是一整段：若解集断开，b−ab-a 的最大值是最长那一段，不是两端之差。
  • 端点的开闭：分界点归哪一段，题面写得清清楚楚（本题 x≤1x\le1 用第一段），照抄别改。

学它之前先会

共 3 条前置、最深 2 层。

出现在以下题目中

共 4 道题考到本条。