浙江 2022 · 数学 q14

冷启动：先把这个函数看清楚

$$f(x)=\begin{cases} -x^2+2, & x\le 1\\[2pt] x+\dfrac1x-1, & x>1 \end{cases}$$

① 两段各是什么形状。

• 左段（$x\le1$）：$-x^2+2$ 是一条开口向下的抛物线，顶点 $(0,2)$。在 $x\le1$ 上它从 $-\infty$ 一路升到 $x=0$ 处的最大值 $2$，再降到 $f(1)=-1+2=1$。
• 右段（$x>1$）：$x+\dfrac1x-1$。求导 $1-\dfrac1{x^2}>0$（$x>1$），所以它在 $(1,+\infty)$ 上单调递增；$x\to1^+$ 时趋于 $1+1-1=1$，$x\to+\infty$ 时趋于 $+\infty$。

② 两段在 $x=1$ 处接得上。 左段给 $f(1)=1$，右段的极限也是 $1$——图象是连着的，不跳。（这一点第二空要用：解集能不能连成一整段，全看这里。）

③ 分界点归哪一段，题面说了算。 题面写的是 $x\le1$ 用左段、$x>1$ 用右段。$x=1$ 属于左段，代入时别用错。

④ 两个空各问什么。

• 第一空 $f\left(f\left(\dfrac12\right)\right)$：嵌套求值，要判两次段；
• 第二空：找出所有满足 $1\le f(x)\le3$ 的 $x$，再问其中最长的一段有多长。

第一空：$f\left(f\left(\frac12\right)\right)$——由内往外，判两次段

① 内层：$\dfrac12$ 落在哪一段？ $\dfrac12\le1$，用左段：

$$f\left(\frac12\right)=-\left(\frac12\right)^2+2=-\frac14+2=\frac74$$

② 外层：$\dfrac74$ 又落在哪一段？ $\dfrac74=1.75>1$，用右段——注意换段了：

$$f\left(\frac74\right)=\frac74+\frac1{\ \frac74\ }-1=\frac74+\frac47-1$$

③ 通分算清楚。 分母取 $28$：

$$\frac74=\frac{49}{28},\qquad \frac47=\frac{16}{28},\qquad 1=\frac{28}{28}$$ $$f\left(\frac74\right)=\frac{49+16-28}{28}=\frac{37}{28}$$ $$\boxed{f\left(f\left(\frac12\right)\right)=\frac{37}{28}}$$

这一空唯一的坑就是第 ② 步：内层算出 $\dfrac74$ 之后，很容易顺手接着用左段算成 $-\left(\dfrac74\right)^2+2=-\dfrac{17}{16}$。每次代入前先问一句「它与 $1$ 谁大」。

解法一：逐段解不等式，各与该段定义域取交后取并

怎么想到的。 第二空要的是「满足 $1\le f(x)\le3$ 的所有 $x$」。$f$ 是分段的，那就分段解：在每一段里用那一段的式子解不等式，解完与该段的定义域取交，最后并起来。

① 左段（$x\le1$）：解 $1\le -x^2+2\le3$。

三部分同时减 $2$：

$$-1\le -x^2\le 1$$

同乘 $-1$（不等号翻向）：

$$-1\le x^2\le 1$$

左边 $-1\le x^2$ 恒成立（平方非负），所以只剩 $x^2\le1$，即 $-1\le x\le1$。

与该段定义域 $x\le1$ 取交：$[-1,1]\cap(-\infty,1]=[-1,1]$。

② 右段（$x>1$）：解 $1\le x+\dfrac1x-1\le3$。

三部分同时加 $1$：

$$2\le x+\frac1x\le 4$$

左半边自动成立：由冷启动第 ① 步，$x+\dfrac1x$ 在 $(1,+\infty)$ 上递增，$x\to1^+$ 时趋于 $2$，所以 $x>1$ 时恒有 $x+\dfrac1x>2$ ✓。

右半边：$x+\dfrac1x\le4$。$x>0$，两边乘 $x$（正数，不翻号）：

$$x^2+1\le 4x\quad\Longrightarrow\quad x^2-4x+1\le0$$

解这个二次不等式：判别式 $\Delta=16-4=12$，根为 $x=\dfrac{4\pm2\sqrt3}{2}=2\pm\sqrt3$。开口向上，故

$$2-\sqrt3\le x\le 2+\sqrt3$$

与该段定义域 $x>1$ 取交：$2-\sqrt3\approx0.27<1$，所以交出来是 $\left(1,\ 2+\sqrt3\right]$。

③ 取并。

$$S=[-1,1]\ \cup\ \left(1,\ 2+\sqrt3\right]=\left[-1,\ 2+\sqrt3\right]$$

两段恰好在 $x=1$ 处接上了（左边含 $1$、右边从 $1$ 之后紧接着开始），所以并出来是一整段，中间没有缺口。

④ 读答案。 题目要 $[a,b]$ 上处处满足 $1\le f(x)\le3$，即 $[a,b]\subseteq S$。$S$ 是一整段，所以最长能取到 $S$ 自己：

$$(b-a)_{\max}=\left(2+\sqrt3\right)-(-1)=\boxed{3+\sqrt3}$$

解法二：画出图象，看它被夹在两条水平线之间的那一段

怎么想到的。 「$1\le f(x)\le3$」翻成图上的话就是：函数图象落在 $y=1$ 与 $y=3$ 这两条水平线之间（含边界）。把 $f$ 画出来、两条线一横，被夹住的那一段的横坐标范围一眼就读得出来——而且解集是不是连成一整段，图上是看得见的，不必像解法一那样在分界点上推敲端点。

① 画左段：抛物线 $-x^2+2$（只画 $x\le1$ 的部分）。

顶点 $(0,2)$，开口向下。它与 $y=1$ 的交点：$-x^2+2=1\Rightarrow x=\pm1$；与 $y=3$ 呢？$-x^2+2=3\Rightarrow x^2=-1$，无交点——因为这一段的最大值只有 $2$，根本够不着 $y=3$。

所以左段被夹住的范围由 $y=1$ 单独决定：抛物线在 $[-1,1]$ 上不低于 $1$（顶点处到 $2$），在 $x<-1$ 处低于 $1$、掉出去了。左段贡献 $[-1,1]$。

② 画右段：$x+\dfrac1x-1$（只画 $x>1$ 的部分）。

它从 $(1,1)$ 附近起步、一路递增到 $+\infty$。既然是单调的，它穿过 $y=3$ 恰好一次——那个交点就是右端界：

$$x+\frac1x-1=3\quad\Longrightarrow\quad x^2-4x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=2\pm\sqrt3$$

取 $x>1$ 的那个根：$x=2+\sqrt3$。而下界 $y=1$ 它一起步就在上面（起点高度正是 $1$），不构成额外限制。

右段贡献 $\left(1,\ 2+\sqrt3\right]$。

③ 从图上读整体。 两段在 $(1,1)$ 处接上（左段的终点与右段的起点是同一个高度 $1$），所以绿色那一段是连通的，横坐标从 $-1$ 一直到 $2+\sqrt3$，中间不断。于是

$$S=\left[-1,\ 2+\sqrt3\right],\qquad (b-a)_{\max}=3+\sqrt3$$

④ 图还顺手说清了两件解法一要靠推的事。

• 为什么 $y=3$ 对左段没约束：那一段最高才 $2$，画出来就在 $y=3$ 下面，一眼可见；解法一里这一步是「$-1\le x^2$ 恒成立」，得想一下。
• 为什么解集不断开：两段在 $x=1$ 处高度都是 $1$，图上是连着的；解法一里这一步要比对 $[-1,1]$ 与 $(1,2+\sqrt3]$ 的端点。

这两条路差在哪

• 解法一是解不等式：两段各解一次、各取一次交，最后取并。它不需要画图，每一步都可以逐字复核；代价是「$y=3$ 对左段没约束」「解集接不接得上」这两件事要靠代数推敲。
• 解法二是读图：把 $f$ 的图象与两条水平线画出来，被夹住的那一段的横坐标就是答案。它造出了解法一里根本不存在的东西——函数的图象，而且把「够不着 $y=3$」「在 $x=1$ 处接上」变成看得见的事实。

第一个实质动作就分岔了（逐段解不等式 vs 画图），中间对象也不同。所以是两条路。

考场上怎么选：先画草图定方向，再用解法一算准端点。图给的是「有几段、断不断、哪条线起作用」，而 $2+\sqrt3$ 这种精确值还得靠解方程——图给方向、算给数。

🕳️ 避坑

• 每次代入前先判段。 第一空的内层用左段、外层用右段。内层算出 $\dfrac74$ 就顺手接着用左段，是这道题最标准的丢分法。
• $x=1$ 归左段。 题面写的是 $x\le1$，所以 $f(1)=1$ 由左段给出。改成右段虽然数值恰好也是 $1$（两段在这里接得上），但那是巧合，别养成习惯。
• 解完要与该段定义域取交。 右段解出 $2-\sqrt3\le x\le2+\sqrt3$，而这一段只管 $x>1$，交出来是 $\left(1,2+\sqrt3\right]$。不取交就会把 $[2-\sqrt3,1]$ 这一截重复算进去（它已经由左段管了），端点也会写错。
• 同乘负数要翻不等号。 左段那一步 $-1\le-x^2\le1$ 乘 $-1$ 之后是 $-1\le x^2\le1$，三部分的顺序整个反过来——写成 $1\le x^2\le-1$ 就无解了。
• 取并之后确认是不是一整段。 本题两段在 $x=1$ 处接上，所以 $b-a$ 能取到全长。若断开，答案是最长的那一段，不是两端之差——这是这类题最容易多算的地方。
• 本题特有的一处：$1\le f(x)\le3$ 里的下界 $1$ 在两段上都不起作用（左段靠它定出 $x\ge-1$、右段自动满足），真正卡住右端的是上界 $3$，而它只对右段起作用。四个界里只有两个是紧的——先判断哪几个界真的起作用，能省掉一半计算。