浙江 2014 · 数学 q15

冷启动：先把这个 $f$ 看清楚

$$f(x)=\begin{cases} x^{2}+x, & x<0,\\[2pt] -x^{2}, & x\geq 0.\end{cases}$$

两支各是一条二次函数图象的一半，值得先各看一眼——这一眼决定了后面两步都能不能一句话解决。

左支 $y=x^{2}+x=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}$，只取 $x<0$ 的那一半。 对称轴 $x=-\frac{1}{2}$ 恰好落在这一半里，所以左支有最低点 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)$； 往左它一路涨到 $+\infty$，往右在 $x\to 0^{-}$ 时回到 $0$。左支的值域是 $\left[-\frac{1}{4},+\infty\right)$。

右支 $y=-x^{2}$，只取 $x\geq 0$ 的那一半，从 $f(0)=0$ 单调降到 $-\infty$。值域是 $(-\infty,0]$。

两件事马上要用：

• 两支接得上。 $x\to 0^{-}$ 时左支 $\to 0$，而 $f(0)=0$，所以图象在原点连成一条，没有断口。
• $f$ 的值域是整个 $\mathbf{R}$，它既没有最大值也没有最小值。 $\left[-\frac{1}{4},+\infty\right)\cup(-\infty,0]=\mathbf{R}$。 只盯着左支会以为「$f$ 的最小值是 $-\frac{1}{4}$」，那是把一个函数当成了两个。

最后是这道题真正的机关。$f(f(a))$ 里外层的自变量是 $f(a)$，所以

外层该用哪一段，由 $f(a)$ 的正负决定，跟 $a$ 的正负没有关系。

这句话是全题的分水岭。$a=1$ 时 $f(a)=-1<0$，外层要用左支的 $x^{2}+x$—— 明明 $a>0$，外层却走了 $x<0$ 那一段。见易错点分段解析式越界代入。

解法一：换元剥外层，两次逐段解再取并

把外层和内层拆成两步，每一步都是同一个动作：在分段函数上解一个不等式。

第一步：外层。 令 $t=f(a)$，先不管 $t$ 是谁生出来的，只解

$$f(t)\leq 2 .$$

按逐段求解再取并：

• $t<0$ 这一段：$t^{2}+t\leq 2\iff (t+2)(t-1)\leq 0\iff -2\leq t\leq 1$， 与本段的 $t<0$ 取交，得 $-2\leq t<0$；
• $t\geq 0$ 这一段：$-t^{2}\leq 2$ 对任何 $t$ 都成立，本段整段保留，得 $t\geq 0$。

两段取并：

$$f(t)\leq 2\iff t\geq -2 .$$

于是原条件等价于 $f(a)\geq -2$。这是等价变形，不是单向的推出——中间没有丢任何一支。

第二步：内层。 同样的动作再做一遍，解 $f(a)\geq -2$：

• $a<0$ 这一段：$a^{2}+a\geq -2\iff a^{2}+a+2\geq 0$。判别式 $1-8=-7<0$， 这个二次式恒正，本段整段保留，得 $a<0$；
• $a\geq 0$ 这一段：$-a^{2}\geq -2\iff a^{2}\leq 2\iff 0\leq a\leq\sqrt{2}$。

两段取并：

$$a\leq\sqrt{2},\qquad\text{即}\quad a\in(-\infty,\sqrt{2}\,] .$$

这条路的全部纪律就两句：每一段解完要和该段的定义域取交；各段的结果最后要取并。 第一步里若忘了并上 $t\geq 0$ 那一整段，就会得出 $-2\leq f(a)\leq 1$，答案立刻错。

解法二：在图上拉两条水平线，解集直接读出来

上一条路解了两次不等式。把 $f$ 的图象画出来，这两次不等式各变成一条水平线在哪儿以下、在哪儿以上—— 这正是两条曲线的上下关系那一招，只不过其中一条是水平直线。

第一条线 $y=2$。 图上一眼可见：它只跟左支有交点。 解 $x^{2}+x=2$ 得 $x=-2$ 或 $x=1$，后者不在 $x<0$ 里，舍掉；右支的 $-x^{2}\leq 0<2$，整条都在线下。 所以「图象不在 $y=2$ 之上」的那段横坐标是 $x\geq -2$——这就是 $f(t)\leq 2$ 的解集。

第二条线 $y=-2$。 它只跟右支有交点。 左支的最低点是 $-\frac{1}{4}$，比 $-2$ 高得多，整条左支都在线上方；右支解 $-x^{2}=-2$ 得 $x=\sqrt{2}$。 所以「图象不在 $y=-2$ 之下」的那段横坐标是 $x\leq\sqrt{2}$——这就是答案。

为什么这条路快：两次「解不等式」都退化成了数交点，而每条线只碰到一支， 连分类讨论都省了。代价是画图要画准两件事——左支的最低点比 $-2$ 高、右支从 $0$ 起单调下降， 这两件事错一件，读出来的解集就错。

解法三：把 $f(f(a))$ 整个写成分段式，一次解到底

前两条都是「先剥外层、再回内层」。这一条反过来：直接把复合函数的解析式写出来， 一次解一个关于 $a$ 的不等式。它笨，但它把「两层各判一次段」这件事完全摊在纸面上。

要写出复合式，得先知道 $f(a)$ 的正负，于是按 $a$ 分段：

注意第一行的分界点：$a^{2}+a=a(a+1)\geq 0$ 在 $a<0$ 内等价于 $a\leq -1$。 再注意 $a=0$ 必须单独站一行——它是唯一一个内层值落在分界点 $0$ 上的点， 而题面把 $0$ 判给了右支。

四段各解一次：

• $a\leq -1$：$-(a^{2}+a)^{2}\leq 0\leq 2$，恒成立，整段保留；
• $-1<a<0$：$u=a^{2}+a$ 落在 $\left[-\frac{1}{4},0\right)$ 里，而 $u^{2}+u\leq 2\iff -2\leq u\leq 1$， 这一段的 $u$ 全在里面，恒成立，整段保留；
• $a=0$：$f(f(0))=0\leq 2$，保留；
• $a>0$：$a^{4}-a^{2}\leq 2\iff (a^{2}-2)(a^{2}+1)\leq 0$。第二个因式恒正， 所以等价于 $a^{2}\leq 2$，得 $0<a\leq\sqrt{2}$。

四段取并，仍是 $a\in(-\infty,\sqrt{2}\,]$。

这条路的价值在于那张表：它把「外层用哪一段」这一列写了出来。 第一行 $a\leq -1$ 明明 $a<0$，外层却走右支；最后一行 $a>0$ 明明 $a>0$，外层却走左支—— 首尾这两行里，$a$ 的符号与 $f(a)$ 的符号恰好相反，这就是这道题唯一想考的东西。

三条路怎么选

• 考场上求快 → 解法一。两次「逐段解、取并」，两分钟。它也是原卷解析的路线。
• 不放心自己解得对不对 → 解法二。图一画，两条水平线各只碰到一支， 答案是看出来的而不是算出来的，天然自带验算。
• 想彻底弄明白「两层判段」 → 解法三。那张四行的表值得抄一遍： 外层用哪一段由 $f(a)$ 的符号定，而这个符号与 $a$ 的符号在两段上都是反的。

原卷解析里那个 $f^{2}$ 的记号

原卷写的是

$\left\{\begin{array}{l} f(a)<0\\ f^{2}(a)+f(a)\leq 2\end{array}\right.$

这里的 $f^{2}(a)$ 指的是 $[f(a)]^{2}$——它来自把 $x=f(a)$ 代进左支的 $x^{2}+x$。 但这道题问的恰恰是 $f(f(a))$，而在别处 $f^{2}$ 常被用来写复合 $f\circ f$ （$\sin^{2}x$ 是平方、$f^{-1}$ 是反函数，同一个上标位置在不同场合意思不同）。 同一份解析里两种含义共用一个记号，是这份材料最容易读岔的一处。 自己写的时候就老老实实写 $[f(a)]^{2}$，多两个括号，省一次误会。

顺带说一句原卷跳过的推理：从那两个方程组到「解得 $f(a)\geq -2$」， 中间是第二组整段恒成立（$-f^{2}(a)\leq 2$ 对任何实数都真）、第一组解出 $-2\leq f(a)<0$， 两段取并。原卷把这两句压成了一个「解得」，读的时候要自己补上。

把条件换一换，看谁在管事

• 右端换成 $-2$：求 $f(f(a))\leq -2$。第一步变成解 $f(t)\leq -2$： 左支 $t^{2}+t\leq -2$ 无解（判别式为负），右支 $-t^{2}\leq -2\iff t\geq\sqrt{2}$， 所以 $f(a)\geq\sqrt{2}$；再对 $a$ 解一次——右支的 $-a^{2}\leq 0$ 够不着，只剩左支 $a^{2}+a\geq\sqrt{2}$，得 $a\leq\dfrac{-1-\sqrt{1+4\sqrt{2}}}{2}$。 换个右端，管事的支就换了人：这一回是左支在管内层、右支在管外层，与原题正好对调。
• 把 $x\geq 0$ 改成 $x>0$、$x<0$ 改成 $x\leq 0$：$f(0)$ 由 $0$（右支）变成 $0$（左支）， 数值没变，所以答案不变。但解法三那张表里 $a=0$ 那一行的「外层用哪一段」要从右支改成左支， 于是它和最后一行并成一行——分界点归属只在数值上「碰巧不影响」时才可以不管，不能默认。
• 右支改成 $-x^{2}+3$：两支在原点断开（左极限 $0$、$f(0)=3$），$f$ 的值域仍是 $\mathbf{R}$， 但 $y=2$ 会同时切到两支，解集断成两段。这时候「每条线只碰一支」的便宜就没了， 解法二得老老实实逐段读。

一句话带走

$f(f(a))\leq 2$ 先剥外层：$f(t)\leq 2$ 在两段上分别是 $[-2,0)$ 与整段保留，并起来是 $t\geq -2$； 再回内层：$f(a)\geq -2$ 在 $a<0$ 上恒成立、在 $a\geq 0$ 上给出 $a^{2}\leq 2$，于是 $a\in(-\infty,\sqrt{2}\,] .$ 全题只考一件事——外层该用哪一段，看的是 $f(a)$ 的值，不是 $a$ 的值。