3.1.2 函数的表示法

文字转写

1. 求下列函数的定义域:

(1) $f(x) = \frac{1}{4x + 7}$; (2) $f(x) = \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 3} - 1$.

2. 已知函数 $f(x) = 3x^{3} + 2x$，

(1) 求 $f(2)$ , $f(-2)$ , $f(2)+f(-2)$ 的值;

(2) 求 $f(a)$ , $f(-a)$ , $f(a)+f(-a)$ 的值.

3. 判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：

（1）表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 $h=130t-5t^{2}$ 和二次函数 $y=130x-5x^{2}$ ;

(2) $f(x) = 1$ 和 $g(x) = x^0$.

3.1.2 函数的表示法

我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.

解析法，就是用解析式表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题1、2.

列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题4.

图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题3.

这三种方法是常用的函数表示法.

例4 某种笔记本的单价是5元，买 $x(x\in \{1,2,3,4,5\})$ 个笔记本需要 $y$ 元. 试用函数的三种表示法表示函数 $y = f(x)$.

解：这个函数的定义域是数集 $\{1,2,3,4,5\}$ .

用解析法可将函数 $y=f(x)$ 表示为

$y = 5 x, x \in \{1, 2, 3, 4, 5 \}.$

用列表法可将函数 $y=f(x)$ 表示为

用图象法可将函数 $y=f(x)$ 表示为图 3.1-2.

函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？

思考

(1) 比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？

(2) 所有函数都能用解析法表示吗？请你举出实例加以说明.

例 5 画出函数 $y=|x|$ 的图象.

解：由绝对值的概念，我们有

$y = \left\{ \begin{array}{l l} - x, & x < 0, \\ x, & x \geqslant 0. \end{array} \right.$

所以，函数 $y=|x|$ 的图象如图 3.1-3 所示.

像例 5 中 $y=\begin{cases}-x, & x<0, \\ x, & x\geqslant0\end{cases}$ 这样的函数称为分段函数. 生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等.

图3.1-3

例 6 给定函数 $f(x)=x+1,\ g(x)=(x+1)^{2},\ x\in\mathbf{R}$ ,

（1）在同一直角坐标系中画出函数 $f(x)$ ， $g(x)$ 的图象；

(2) $\forall x \in R$ ，用 $M(x)$ 表示 $f(x)$ ， $g(x)$ 中的最大者，记为

$M (x) = \max \{f (x), g (x) \}.$

例如，当 $x = 2$ 时，$M(2) = \max \{f(2), g(2)\} = \max \{3, 9\} = 9$.

请分别用图象法和解析法表示函数 $M(x)$ .

解：（1）在同一直角坐标系中画出函数 $f(x)$ ， $g(x)$ 的图象（图 3.1-4）.

(2) 由图 3.1-4 中函数取值的情况，结合函数 $M(x)$ 的定义，可得函数 $M(x)$ 的图象（图 3.1-5）.

由 $(x+1)^{2}=x+1$ ，得 $x(x+1)=0$ .

解得 x = -1，或 x = 0.

结合图 3.1-5，得出函数 $M(x)$ 的解析式为

$M (x) = \left\{ \begin{array}{l l} (x + 1) ^ {2}, & x \leqslant - 1, \\ x + 1, & - 1 < x \leqslant 0, \\ (x + 1) ^ {2}, & x > 0. \end{array} \right.$

你能用其他方法求出 $M(x)$ 的解析式吗？

练习

1. 如图，把直截面半径为 $25 \mathrm{~cm}$ 的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为 $x$ （单位： $\mathrm{cm}$ ），面积为 $y$ （单位： $\mathrm{cm}^2$ ），把 $y$ 表示为 $x$ 的函数.

2. 画出函数 $y = |x - 2|$ 的图象.

3. 给定函数 $f(x) = -x + 1$，$g(x) = (x - 1)^2$，$x \in \mathbf{R}$，

(1) 画出函数 $f(x)$ ， $g(x)$ 的图象；

(2) $\forall x \in \mathbf{R}$, 用 $m(x)$ 表示 $f(x)$, $g(x)$ 中的最小者, 记为 $m(x) = \min\{f(x), g(x)\}$, 请分别用图象法和解析法表示函数 $m(x)$.

对于一个具体的问题，如果涉及函数，那么应当学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系.

例 7 表 3.1-4 是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.

请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析.

解：从表 3.1-4 中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况。如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为 6 个离散的点）表示出来，如图 3.1-6，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助。

从图 3.1-6 可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀。张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大。赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。

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为了更容易看出一个同学的学习情况，我们将表示每位同学成绩的函数图象（离散的点）用虚线连接.

例8 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）。2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为

个税税额 $=$ 应纳税所得额 $\times$ 税率一速算扣除数. ① 应纳税所得额的计算公式为

应纳税所得额 $=$ 综合所得收入额一基本减除费用一专项扣除

一专项附加扣除一依法确定的其他扣除。②其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元。税率与速算扣除数见表3.1-5。

（1）设全年应纳税所得额为 $t$ ，应缴纳个税税额为 $y$ 求 $y = f(t)$ ，并画出图象；

（2）小王全年综合所得收入额为 117 600 元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 8%，2%，

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“综合所得”包括工资、薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用。

1%，9%，专项附加扣除是9600元，依法确定其他扣除是560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？

分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额：

第一步，根据②计算出应纳税所得额 t；

第二步，由 t 的值并根据表 3.1-5 得出相应的税率与速算扣除数；

第三步，根据①计算出个税税额 y 的值.

由于不同应纳税所得额 $t$ 对应不同的税率与速算扣除数，所以 $y$ 是 $t$ 的分段函数.

解：（1）根据表3.1-5，可得函数 $y = f(t)$ 的解析式为

y = \left\{ \begin{array}{l} 0. 0 3 t, 0 \leqslant t \leqslant 3 6 0 0 0, \\ 0. 1 t - 2 5 2 0, 3 6 0 0 0 < t \leqslant 1 4 4 0 0 0, \\ 0. 2 t - 1 6 9 2 0, 1 4 4 0 0 0 < t \leqslant 3 0 0 0 0 0, \\ 0. 2 5 t - 3 1 9 2 0, 3 0 0 0 0 0 < t \leqslant 4 2 0 0 0 0, \\ 0. 3 t - 5 2 9 2 0, 4 2 0 0 0 0 < t \leqslant 6 6 0 0 0 0, \\ 0. 3 5 t - 8 5 9 2 0, 6 6 0 0 0 0 < t \leqslant 9 6 0 0 0 0, \\ 0. 4 5 t - 1 8 1 9 2 0, t > 9 6 0 0 0 0. \end{array} \right.\tag{③}

函数图象如图 3.1-7 所示.

(2) 根据②，小王全年应纳税所得额为

$\begin{array}{r l} & t = 1 1 7 6 0 0 - 6 0 0 0 0 - 1 1 7 6 0 0 \times (8 \% + 2 \% + 1 \% + 9 \%) - 9 6 0 0 - 5 6 0 \\ & \quad = 0. 8 \times 1 1 7 6 0 0 - 7 0 1 6 0 \\ & \quad = 2 3 9 2 0. \end{array}$

将 $t$ 的值代入③，得

$y = 0. 0 3 \times 2 3 9 2 0 = 7 1 7. 6.$

所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为717.6元.

练习

1. 下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.

(1) 我离开家不久, 发现自己把作业本忘在家里了, 于是返回家里找到了作业本再上学;

(2) 我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

(3) 我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.

2. 某市 “招手即停” 公共汽车的票价按下列规则制定：

(1) 5 km 以内（含 5 km），票价 2 元；

(2) 5 km 以上，每增加 5 km，票价增加 1 元（不足 5 km 的按 5 km 计算）.

如果某条线路的总里程为 $20 \, km$ ，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.

习题3.1

复习巩固

1. 求下列函数的定义域： (1) $f(x)=\frac{3x}{x-4}$ ; (2) $f(x)=\sqrt{x^{2}}$ ; (3) $f(x)=\frac{6}{x^{2}-3x+2}$ ; (4) $f(x)=\frac{\sqrt{4-x}}{x-1}$ .

2. 下列哪一组中的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同一个函数? (1) $f(x)=x-1,\ g(x)=\frac{x^{2}}{x}-1;$ (2) $f(x)=x^{2},\ g(x)=(\sqrt{x})^{4};$ (3) $f(x)=x^{2},\ g(x)=\sqrt[3]{x^{6}}.$

3. 画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域： (1) y=3x; (2) $y=\frac{8}{x}$ ; (3) $y = -4x + 5;$ (4) $y = x^{2} - 6x + 7.$

4. 已知函数 $f(x) = 3x^{2} - 5x + 2$，求 $f(-\sqrt{2})$，$f(-a)$，$f(a + 3)$，$f(a) + f(3)$ 的值。

5. 已知函数 $f(x) = \frac{x + 2}{x - 6}$，（1）点（3，14）在 $f(x)$ 的图象上吗？（2）当 $x = 4$ 时，求 $f(x)$ 的值。（3）当 $f(x) = 2$ 时，求 $x$ 的值.

6. 若 $f(x) = x^{2} + bx + c$，且 $f(1) = 0$，$f(3) = 0$，求 $f(-1)$ 的值.

7. 画出下列函数的图象： (1) $f(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0,\\1,&x>0;\end{cases}$

(2) $G(n)=3n+1,\ n\in\{1,2,3\}$ .

综合运用

8. 如图，矩形的面积为 10. 如果矩形的长为 $x$，宽为 $y$，对角线为 $d$，周长为 $l$，那么你能获得关于这些量的哪些函数？

9. 一个圆柱形容器的底部直径是 $d \mathrm{~cm}$, 高是 $h \mathrm{~cm}$. 现在向容器内每秒注入某种溶液 $v \mathrm{~cm}^{3}$. 求容器内溶液的高度 $x$ (单位: $\mathrm{cm}$) 关于注入溶液的时间 $t$ (单位: $\mathrm{s}$) 的函数解析式, 并写出函数的定义域和值域.

(第8题)

10. 一个老师用5分制对数学作业评分. 一次作业中, 第一小组同学按座位序号1, 2, 3, 4, 5, 6的次序, 得分依次是5, 3, 4, 2, 4, 5. 你会怎样表示这次作业的得分情况? 用 $x$, $y$ 分别表示序号和对应的得分, $y$ 是 $x$ 的函数吗? 如果是, 那么它的定义域、值域和对应关系各是什么?

11. 函数 $r = f(p)$ 的图象如图所示，（1）函数 $r = f(p)$ 的定义域、值域各是什么？(2）$r$ 取何值时，只有唯一的 $p$ 值与之对应？

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图中，曲线 $l$ 与直线 $m$ 无限接近，但永不相交.

12. 画出定义域为 $\{x\mid-3\leqslant x\leqslant8$ ，且 $x\neq5\}$ ，值域为 $\{y\mid-1\leqslant y\leqslant2,y\neq0\}$ 的一个函数的图象. (1) 将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？ (2) 如果平面直角坐标系中点 $P(x, y)$ 的坐标满足 $-3 \leqslant x \leqslant 8, -1 \leqslant y \leqslant 2$ ，那么其中哪些点不能在图象上？

13. 函数 $f(x) = [x]$ 的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数，例如， $[-3.5] = -4$ ， $[2.1] = 2.$ 当 $x \in (-2.5, 3]$ 时，写出函数 $f(x)$ 的解析式，并画出函数的图象.

14. 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 $y=\frac{1}{2}ax^{2}(a>0)$ 来描述.

拓广探索

15. 如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点 P 的距离是 2 km，从点 P 沿海岸正东 12 km 处有一个城镇.

(1) 假设一个人驾驶的小船的平均速度为 $3 \, km/h$ ，步行的速度是 $5 \, km/h$ ，t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点 P 的距离。请将 t 表示为 x 的函数。

(2) 如果将船停在距点 $P4 \mathrm{~km}$ 处, 那么从小岛到城镇要多长时间 (精确到 $0.1 \mathrm{~h}$)?

16. 给定数集 $A = \mathbf{R}$, $B = (-\infty, 0]$, 方程

$u ^ {2} + 2 v = 0,$

（1）任给 $u \in A$ ，对应关系 $f$ 使方程①的解 $v$ 与 $u$ 对应，判断 $v = f(u)$ 是否为函数；

(2) 任给 $v \in B$ ，对应关系 g 使方程①的解 u 与 v 对应，判断 $u = g(v)$ 是否为函数.

17. 探究是否存在函数 $f(x)$，$g(x)$ 满足条件：

(1) 定义域相同，值域相同，但对应关系不同；

(2) 值域相同，对应关系相同，但定义域不同.

18. 在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率 $\pi$ 准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字。如果记圆周率 $\pi$ 小数点后第 $n$ 位上的数字为 $y$，那么你认为 $y$ 是 $n$ 的函数吗？如果是，请写出函数的定义域、值域与对应关系；如果不是，请说明理由。

? 阅读与思考

函数概念的发展历程

17 世纪, 科学家们致力于运动的研究, 如计算天体的位置, 远距离航海中对经度和纬度的测量, 炮弹的速度对于高度和射程的影响等. 诸如此类的问题都需要探究两个变量之间的关系, 并根据这种关系对事物的变化规律作出判断, 如根据炮弹的发射角和初速度推测它能达到的高度和射程. 这正是函数概念产生和发展的背景.

“function”一词最初由德国数学家莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646—1716）使用。在中国，清代数学家李善兰（1811—1882）在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将“function”译作“函数”。

莱布尼茨用“函数”表示随曲线的变化而改变的

几何量，如坐标、切线等。1718年，他的学生、瑞士数学家约翰·伯努利（J. Bernoulli，1667—1748）强调函数要用式子表示。后来，数学家认为这不是判断函数的标准。只要一些变量变化，另一些变量随之变化就可以了。所以，1755年，瑞士数学家欧拉（L. Euler，1707—1783）将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”。

当时很多数学家对于不用式子表示函数很不习惯，甚至抱怀疑态度。函数的概念仍然是比较模糊的。

随着对微积分研究的深入, 18 世纪末 19 世纪初, 人们对函数的认识向前推进了. 德国数学家狄利克雷 (P. G. L. Dirichlet, 1805-1859) 在 1837 年时提出: “如果对于 $x$ 的每一个值, $y$ 总有一个完全确定的值与之对应, 那么 $y$ 是 $x$ 的函数.” 这个定义较清楚地说明了函数的内涵. 只要有一个法则, 使得取值范围中的每一个 $x$, 有一个确定的 $y$ 和它对应就行了, 不管这个法则是用解析式还是用图象、表格等形式表示. 例如, 狄利克雷函数, 即: 当自变量取有理数时, 函数值为 1; 当自变量取无理数时, 函数值为 0. 它只能用对应的语言予以表达. 19 世纪 70 年代以后, 随着集合概念的出现, 函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述, 这就是本节学习的函数概念.

综上所述可知，函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的。

你能以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗？