3.1.2 函数的表示法

这一节（3.1.2 函数的表示法）讲两件事：函数用哪几种方式”出场”，以及出场以后怎么对付。三种表示法（解析法、列表法、图象法）在初中就见过，本节把它们升级成正式工具——每一种怎么用、各有什么特点、怎么互相转化；同时引进分段函数这个新形态——对应关系”分段给规则”的函数。学完这一节，你要能：给一个函数，用三种方法表示它；给一段实际问题，列出它的分段函数解析式；给一张图象，说出它是哪个函数。

一、三种表示法：同一函数的三张面孔

课本例 4 用”买笔记本”把三种表示法一次配齐：单价 5 元，买 $x \in \{1,2,3,4,5\}$ 个要 $y$ 元。

• 解析法：$y = 5x,\ x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$——简洁、能算，但要注明定义域（这里 $x$ 不能是 6.5 个笔记本）；
• 列表法：$x = 1, 2, 3, 4, 5$ 对应 $y = 5, 10, 15, 20, 25$——直接、具体，但只能显示有限个点；
• 图象法：五个离散的点——直观、能看出变化趋势，但精度有限。

注意例 4 的图象是五个孤立点，不是一条直线——定义域是 $\{1,2,3,4,5\}$，函数图象就只长在定义域上。这带出本节的第一个判断工具：

一个图形是函数图象的判据：竖直线与图象至多交于一点。 交多于一点，说明同一个 $x$ 对应了两个 $y$，就不是函数。这一条在练习（第 79 页）第 1 题、习题第 11、12 题里反复用。

课本思考题问”所有函数都能用解析法表示吗”——不能。AQI 图、成绩表、以及那个经典的狄利克雷函数（有理数取 1、无理数取 0），都只能用图象或语言描述。所以三种表示法是并列的，没有谁更高级。

二、分段函数：一个函数，多段规则

例 5 画出 $y = |x|$ 的图象。按绝对值定义，$x \geqslant 0$ 与 $x < 0$ 用两条不同的直线，拼起来是 V 字形：

$$y = \begin{cases} -x, & x < 0, \\ x, & x \geqslant 0. \end{cases}$$

在定义域的不同部分用不同解析式表示的函数叫分段函数。 最要紧的一句话：分段函数是一个函数，不是几个函数——它的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；求 $f(a)$ 时先判断 $a$ 落在哪一段，再用那一段的解析式。

例 6 是分段函数的高级形态：$M(x) = \max\{f(x), g(x)\}$，其中 $f(x) = x+1$、$g(x) = (x+1)^2$。它的做题路径值得背下来——先画图，再找交点，再分段：

1. 同坐标系画出 $f$、$g$ 的图象；
2. 解 $(x+1)^2 = x+1$ 得交点 $x = -1$ 或 $x = 0$；
3. “最大者”就是图象的上包络（每段取在上面的那条），按交点把 $\mathbf{R}$ 分成三段：
   • $x \leqslant -1$ 与 $x > 0$ 时抛物线在上，取 $(x+1)^2$；
   • $-1 < x \leqslant 0$ 时直线在上，取 $x+1$。

习题 3.1 第 7 题（第 1 问的阶跃函数）、练习（第 79 页）第 2 题（公交票价）都是同一套路：分段 → 求交点/找分界 → 每段写解析式。分界点归属哪一段要写清楚（比如 $x = 0$ 归第二段），这是分段函数唯一容易含糊的地方。

三、图象法：直观性从哪来

例 7 三个同学六次数学成绩：一张表很难看出变化，画成六个离散点（再连虚线）就一目了然——王伟稳定优秀、张城大起大落、赵磊稳步上升。这一例说明图象法的价值不在”精确”，而在”看出趋势”。做这类题（练习第 79 页第 1 题匹配”离家返校/匀速遇堵/缓缓加速”）时，读的是曲线的形状语言：水平段 = 量不变（堵塞），陡段 = 变化快（加速），折返 = 回到原点附近（回家）。

四、易错清单（按失分频率排）

1. 分段函数求值忘判断分段。 求 $f(a)$ 前先问”$a$ 在哪一段”，解完方程还要验根落在该段范围内（2011 年浙江第 1 题就是这个坑：解出 $a = -4$ 或 $a = 2$，其中 $-2$ 因为不在 $x > 0$ 段要舍去）。
2. 解析法表示函数不写定义域。 $y = 5x$ 不写 $x \in \{1,2,3,4,5\}$ 就默认成直线。凡是实际背景的函数，定义域必须跟着解析式一起走。
3. 分段函数当”几个函数”处理。 求定义域、值域时按”各段的并集”算，不是分开算。
4. 图象判断题只看形状不看竖直线。 “是不是函数图象”唯一判据是竖直线至多一个交点，别的都是干扰。
5. 分界点归属含糊。 分段函数每段的端点（含还是不含）写清楚，$x = 5$ 处票价是 3 元不是 2 元（练习第 79 页第 2 题）。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，八道题全部经由概念 分段函数 连过来—— 这个实体是做 2014 年那道题时才补建的，在此之前本站只有「分段函数求值与范围」「分段函数的单调性」这类题型， 没有它们共同依赖的那个概念，于是这一节底下一道题也挂不上。现在挂上了，而且往后会自己长，不用手写。

先热身：2011 年浙江第 1 题（$f(x)=\begin{cases}-x, & x\leqslant 0,\\ x^{2}, & x>0,\end{cases}$ 若 $f(a)=4$， 求 $a$，答案 $-4$ 或 $2$）。本站还没给它写攻略，所以它不在下方那张清单里，但它是本节最干净的一道： 先假设 $a\leqslant 0$，解 $-a=4$ 得 $a=-4$（落在该段内，留）；再假设 $a>0$，解 $a^{2}=4$ 得 $a=\pm 2$， $-2$ 不在 $x>0$ 段，舍。解完必验根——这是分段函数求值失分的第一原因。

清单里那八道，按难度读：

1. 2021 年第 12 题——纯嵌套求值 $f[f(\sqrt{6})]$。本节第二段那句「求 $f(a)$ 时先判断 $a$ 落在哪一段」 要连用两次：内层判一次、把结果当新自变量再判一次。没有第二条路，它就是本节动作的裸考。
2. 2014 年第 15 题——嵌套之外还套了个不等式：$f(f(a))\leqslant 2$ 求 $a$ 的范围。 它把本节的两个动作都用上了：外层用「逐段解不等式、与本段定义域取交、再取并」， 解出 $f(a)\geqslant -2$；内层再来一遍，得 $a\leqslant\sqrt{2}$。 这道题最值得带走的一句是：外层该用哪一段，看的是 $f(a)$ 的值，不是 $a$ 的值—— 题里 $a>0$ 的那一段，外层走的恰恰是 $x<0$ 那一支。
3. 2015 年第 10 题——求分段函数的最小值。做法是本节第二段那句「值域是各段值域的并集」的直接推论： 两段各求各的最小，再把两个数摆到同一把尺子上比。
4. 2024 年第 6 题——分段函数在整个 $\mathbf{R}$ 上单调递增，求参数。 「一个函数不是几个函数」在这里最要紧：除了两段各自递增，分界点处还得接得上，少一条就漏解。
5. 2018 年第 15 题、2019 年第 9 题——数零点。看见分段函数，第一反应是「零点也得分段数」， 两段各数各的、最后相加；难点从本节转到了后面几章（第 4 章的零点、导数）。
6. 2016 年第 18 题——$F(x)=\min\{f(x),g(x)\}$。这正是本节例 6 的孪生兄弟（那里是 $\max$）， 做法一模一样：先画图、解 $f=g$ 找交点、再分段，把 $F$ 写成显式分段函数之后一切照旧。
7. 2022 年第 9 题——含参绝对值不等式恒成立。绝对值拆开就是折线，也就是分段函数； 这道题的紧约束落在折线的拐点上，提醒一件本节没明说的事：分段函数身上最特别的点， 往往就是那几个分界点。

六、怎么读这一节

1. 把例 4 三种表示法亲手各做一遍，体会”同一函数三张面孔”——注意定义域怎么跟三种表示法走；
2. 做例 5（$y = |x|$）和例 6（$M(x) = \max$），把”先画图、找交点、再分段”背下来；
3. 独立做练习（第 76 页）第 3 题（$m(x) = \min$）——和例 6 一模一样，只是”最大”变”最小”；
4. 读一遍例 8 个税：这是”实际问题 → 分段函数模型”的完整示范（三步：算应纳税所得额 → 查表定税率 → 代公式），不求会算七段，要求看懂”为什么是分段函数”；
5. 最后做练习（第 79 页）第 2 题（公交票价）练手写分段解析式——它把”每增加 5 km 加 1 元”翻译成分段函数，是高考应用题的简化版。

下一节 §3.2 函数的基本性质：有了”函数怎么表示”，就可以研究”函数长得怎么样”——单调性、奇偶性，是用图象法和解析法研究函数的第一个大主题。

本节页面覆盖第 74–82 页，课本习题共 26 道：第 74 页「练习」3 道（课本给 §3.1.1 配的第二组练习，题面印在本节首页上）、第 76 页「练习」3 道、第 79 页「练习」2 道、「习题 3.1」18 道（复习巩固 7 道、综合运用 7 道、拓广探索 4 道），逐题全做。第 79 页练习第 1 题的四个小图（A–D）按课本原页读出（本页转写只收录了 (A)(D) 两幅，其余按整页扫描图读出）；习题第 11 题的曲线数据也按插图读出。第 82 页「阅读与思考」（函数概念的发展历程）是章末阅读材料，不在习题范围。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 74 页）第 1 题

1. 求下列函数的定义域:

(1) $f(x) = \frac{1}{4x + 7}$; (2) $f(x) = \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 3} - 1$.

(1) 分母不为零：$4x + 7 \neq 0$，即 $x \neq -\frac{7}{4}$。定义域为

$$\left(-\infty, -\frac{7}{4}\right) \cup \left(-\frac{7}{4}, +\infty\right).$$

(2) 两个根式的被开方数都要非负：

$$1 - x \geqslant 0,\qquad x + 3 \geqslant 0,$$

即 $x \leqslant 1$ 且 $x \geqslant -3$，交集为 $[-3, 1]$。定义域为 $[-3, 1]$。

自检：两小题都是”一个约束（或两个约束取交集）“的套路——分母 ≠ 0、偶次根号内 ≥ 0。第 (2) 问别漏了第二个根式。

练习（第 74 页）第 2 题

2. 已知函数 $f(x) = 3x^{3} + 2x$，

(1) 求 $f(2)$ , $f(-2)$ , $f(2)+f(-2)$ 的值;

(2) 求 $f(a)$ , $f(-a)$ , $f(a)+f(-a)$ 的值.

(1) 直接代入：

$$f(2) = 3 \times 8 + 2 \times 2 = 24 + 4 = 28,\qquad f(-2) = 3 \times (-8) + 2 \times (-2) = -28,$$

所以

$$f(2) + f(-2) = 28 + (-28) = 0.$$

(2) 把 $x$ 换成 $a$ 与 $-a$：

$$f(a) = 3a^3 + 2a,\qquad f(-a) = -3a^3 - 2a,$$ $$f(a) + f(-a) = (3a^3 + 2a) + (-3a^3 - 2a) = 0.$$

自检：$f(2) = -f(-2)$、$f(a) = -f(-a)$——这个”取相反数后函数值也相反”的性质叫奇函数，§3.2.2 会正式学它；这里是第一次遇到，先有个印象。

练习（第 74 页）第 3 题

3. 判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：

（1）表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 $h=130t-5t^{2}$ 和二次函数 $y=130x-5x^{2}$ ;

(2) $f(x) = 1$ 和 $g(x) = x^0$.

(1) 不是同一个函数。 两个函数对应关系相同（都是 $130(\cdot) - 5(\cdot)^2$），但定义域不同：炮弹的高度 $h = 130t - 5t^2$ 中 $t$ 是发射到落地的时间，定义域是 $[0, 26]$（练习 3.1.1 第 1 题算过）；而二次函数 $y = 130x - 5x^2$ 的定义域是 $\mathbf{R}$。定义域不同，就不是同一个函数。

(2) 不是同一个函数。 $f(x) = 1$ 的定义域是 $\mathbf{R}$；$g(x) = x^0$ 中 $0^0$ 无意义，定义域是 $\{x \mid x \neq 0\}$。定义域不同，不是同一个函数。

练习（第 76 页）第 1 题

1. 如图，把直截面半径为 $25 \mathrm{~cm}$ 的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为 $x$ （单位： $\mathrm{cm}$ ），面积为 $y$ （单位： $\mathrm{cm}^2$ ），把 $y$ 表示为 $x$ 的函数.

直截面是半径为 25 cm 的圆，锯出的矩形内接于这个圆（矩形四个顶点在圆上），所以矩形的对角线等于圆的直径 $2 \times 25 = 50$ cm。设矩形的另一边长为 $b$，由勾股定理

$$x^2 + b^2 = 50^2,\qquad b = \sqrt{2500 - x^2}.$$

矩形的面积

$$y = x\sqrt{2500 - x^2},\qquad 0 < x < 50.$$

定义域是 $(0, 50)$：$x$ 是矩形的边长，不能取 0（矩形退化），也不能取 50（另一边退化为 0）。

自检：$x = 30$ 时 $b = \sqrt{2500 - 900} = 40$，面积 $y = 1200$——勾股数 30-40-50 恰好是直径 50 的圆内接矩形，验证无误。

练习（第 76 页）第 2 题

2. 画出函数 $y = |x - 2|$ 的图象.

按绝对值定义分段：

$$y = |x - 2| = \begin{cases} -x + 2, & x < 2, \\ x - 2, & x \geqslant 2. \end{cases}$$

图象是 V 字形折线：顶点在 $(2, 0)$，$x < 2$ 一侧是过 $(0, 2)$ 的下降直线 $y = -x + 2$（斜率 $-1$，$x$ 增大时 $y$ 减小），$x \geqslant 2$ 一侧是过 $(4, 2)$ 的上升直线 $y = x - 2$（斜率 $+1$，$x$ 增大时 $y$ 增大）——从左往右先降到顶点 $(2, 0)$，再上升。

自检：$y = |x - 2|$ 是 $y = |x|$ 向右平移 2 个单位——顶点从原点移到 $(2, 0)$，两条射线斜率 ±1，完全吻合。

练习（第 76 页）第 3 题

3. 给定函数 $f(x) = -x + 1$，$g(x) = (x - 1)^2$，$x \in \mathbf{R}$，

(1) 画出函数 $f(x)$ ， $g(x)$ 的图象；

第 (1) 问和第 (2) 问之间，页面上排着第 1 题的木料截面图（插图不引），故 (2) 单独一个引用块：

(2) $\forall x \in \mathbf{R}$, 用 $m(x)$ 表示 $f(x)$, $g(x)$ 中的最小者, 记为 $m(x) = \min\{f(x), g(x)\}$, 请分别用图象法和解析法表示函数 $m(x)$.

(1) 直线 $f(x) = -x + 1$ 过 $(0, 1)$、$(1, 0)$；抛物线 $g(x) = (x - 1)^2$ 顶点在 $(1, 0)$、开口向上，过 $(0, 1)$。两条线恰好都在 $(0, 1)$ 与 $(1, 0)$ 相交。

(2) 图象法：$m(x)$ 是”两者中的较小者”，图象是两条线的下包络——哪条在下面就取哪条，按交点 $x = 0$、$x = 1$ 分成三段：

• $x \leqslant 0$：直线在下（如 $x = -1$ 时 $f = 2 < g = 4$），取 $f$；
• $0 < x < 1$：抛物线在下（如 $x = 0.5$ 时 $f = 0.5 > g = 0.25$），取 $g$；
• $x \geqslant 1$：直线在下（如 $x = 2$ 时 $f = -1 < g = 1$），取 $f$。

解析法：

$$m(x) = \begin{cases} -x + 1, & x \leqslant 0, \\ (x - 1)^2, & 0 < x < 1, \\ -x + 1, & x \geqslant 1. \end{cases}$$

自检：分界点 $x = 0$、$x = 1$ 由 $f(x) = g(x)$ 解得：$-x + 1 = (x-1)^2 \Rightarrow x(x-1) = 0$。三段在分界点上函数值都相等（$x = 0$ 处都是 1，$x = 1$ 处都是 0），图象连续。与课本例 6 的 $\max$ 函数互为镜像：例 6 取上包络，这里取下包络。

练习（第 79 页）第 1 题

1. 下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.

(1) 我离开家不久, 发现自己把作业本忘在家里了, 于是返回家里找到了作业本再上学;

(2) 我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

(3) 我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.

四个小图的纵轴都是”离开家的距离”、横轴都是”时间”，按课本原页从左到右读出：

• (A) 上升 → 水平 → 再上升（末段更陡）；
• (B) 光滑曲线，先慢后快（缓缓加速）；
• (C) 光滑曲线，先快后慢（起步快、渐慢）；
• (D) 上升 → 下降回 0 → 在 0 处停留 → 再上升（折返回家）。

匹配结果：

• (1) 忘带作业本返回——先离家（上升），折返回家（下降到 0），在家找到作业本（距离为 0 停留），再上学（再次上升）。吻合得最好的是 (D)。
• (2) 匀速骑行遇一次堵塞——匀速（直线上升），途中堵塞（水平段，距离不变），之后继续前行（再上升）。吻合得最好的是 (A)。
• (3) 缓缓加速——加速度行进的距离随时间增加得越来越快，曲线越来越陡（先慢后快）。吻合得最好的是 (B)。

剩下 (C) 给一件事：先快后慢——“我离开家时一路小跑，跑了一阵累了，脚步渐渐放慢。“（也可以写”出门时赶时间走得快，后来发现时间充裕，放慢脚步”，只要贴合”先快后慢”的形状即可。）

自检：读图题的关键是建立”形状语言”——水平段 = 停下/逗留、陡段 = 速度快、折返 = 回原点。四幅图两两区分：A 与 D 都有”上升—水平—上升”，但 D 中间有折返（下降到 0），A 没有；B 与 C 都是光滑上升，但 B 越来越陡、C 越来越平。

练习（第 79 页）第 2 题

2. 某市 “招手即停” 公共汽车的票价按下列规则制定：

(1) 5 km 以内（含 5 km），票价 2 元；

(2) 5 km 以上，每增加 5 km，票价增加 1 元（不足 5 km 的按 5 km 计算）.

如果某条线路的总里程为 $20 \, km$ ，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.

设里程为 $x$（km）、票价为 $y$（元）。总里程 20 km，按每 5 km 一段分档：

分段函数解析式：

$$y = \begin{cases} 2, & 0 < x \leq 5, \\ 3, & 5 < x \leq 10, \\ 4, & 10 < x \leq 15, \\ 5, & 15 < x \leq 20. \end{cases}$$

图象是阶梯形：四段水平线段，高度依次为 2、3、4、5。注意每个分界点 $x = 5, 10, 15$ 处，实心点归上一段（“含 5 km 票价 2 元”，所以 $x = 5$ 时 $y = 2$，该点是实心）；每段左端是空心点（“5 km 以上”不含 $x = 5$ 本身）。

自检：$x = 5$ 处票价是 2 元不是 3 元——“含 5 km”四个字定归属；$x = 5.1$ km 时按”不足 5 km 的按 5 km 计算”进位到 3 元档，所以左端空心。定义域是 $(0, 20]$，值域是 $\{2, 3, 4, 5\}$。

习题 3.1 第 1 题

1. 求下列函数的定义域： (1) $f(x)=\frac{3x}{x-4}$ ; (2) $f(x)=\sqrt{x^{2}}$ ; (3) $f(x)=\frac{6}{x^{2}-3x+2}$ ; (4) $f(x)=\frac{\sqrt{4-x}}{x-1}$ .

(1) 分母不为零：$x - 4 \neq 0$，定义域为 $(-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$。

(2) $\sqrt{x^2}$ 对被开方数 $x^2 \geqslant 0$ 恒成立（任何实数的平方都非负），定义域为 $\mathbf{R}$。

(3) 分母 $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \neq 0$，即 $x \neq 1$ 且 $x \neq 2$，定义域为 $(-\infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, +\infty)$。

(4) 两个约束同时成立：根式要求 $4 - x \geqslant 0$，分母要求 $x - 1 \neq 0$。即 $x \leqslant 4$ 且 $x \neq 1$，定义域为 $(-\infty, 1) \cup (1, 4]$。

自检：第 (2) 问最容易错——想当然以为 $\sqrt{x^2}$ 要求 $x \geqslant 0$，其实 $x^2$ 恒非负，定义域是整个 $\mathbf{R}$。第 (4) 问别忘了”分母 ≠ 0”与”根号内 ≥ 0”要取交集，且 $x = 1$ 要从 $(-\infty, 4]$ 里挖掉。

习题 3.1 第 2 题

2. 下列哪一组中的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同一个函数? (1) $f(x)=x-1,\ g(x)=\frac{x^{2}}{x}-1;$ (2) $f(x)=x^{2},\ g(x)=(\sqrt{x})^{4};$ (3) $f(x)=x^{2},\ g(x)=\sqrt[3]{x^{6}}.$

(1) 不是。 $g(x) = \frac{x^2}{x} - 1$ 的定义域是 $\{x \mid x \neq 0\}$，$f(x) = x - 1$ 的定义域是 $\mathbf{R}$。定义域不同。

(2) 不是。 $g(x) = (\sqrt{x})^4$ 要求 $\sqrt{x}$ 有意义，定义域是 $[0, +\infty)$；$f(x) = x^2$ 的定义域是 $\mathbf{R}$。定义域不同。

(3) 是。 $\sqrt[3]{x^6} = x^2$ 对一切实数成立（奇次根号对 $x^6 \geqslant 0$ 无额外限制），定义域都是 $\mathbf{R}$，对应关系相同。

自检：判断顺序固定为”先定义域、后对应关系”。第 (1)(2) 问的死穴都在定义域——化简前后”悄悄丢了几个点”：$\frac{x^2}{x}$ 约分前要 $x \neq 0$，$(\sqrt{x})^4$ 要求 $x \geqslant 0$。第 (3) 问的 $\sqrt[3]{x^6}$ 是”看似与 (2) 同型、实则定义域未受限”的对照点：$x < 0$ 时 $(\sqrt{x})^4$ 无意义，而 $\sqrt[3]{x^6} = x^2$ 有意义——两个表达式分属 (2)(3) 两问，恰好构成”一个受限、一个不受限”的正反例，所以 (2) 不是、(3) 是。

习题 3.1 第 3 题

3. 画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域： (1) y=3x; (2) $y=\frac{8}{x}$ ; (3) $y = -4x + 5;$ (4) $y = x^{2} - 6x + 7.$

(1) $y = 3x$：过原点的直线，定义域 $\mathbf{R}$，值域 $\mathbf{R}$。

(2) $y = \frac{8}{x}$：反比例函数图象（两支双曲线，在一、三象限），定义域 $\{x \mid x \neq 0\}$，值域 $\{y \mid y \neq 0\}$。

(3) $y = -4x + 5$：斜率为 $-4$、过 $(0, 5)$ 的直线，定义域 $\mathbf{R}$，值域 $\mathbf{R}$。

(4) $y = x^2 - 6x + 7 = (x - 3)^2 - 2$：开口向上的抛物线，顶点 $(3, -2)$，定义域 $\mathbf{R}$，值域 $[-2, +\infty)$。

自检：一次函数、反比例函数、二次函数是初中三件套，本节要求”图象 + 定义域 + 值域”一次说全。第 (4) 问配方是求二次函数值域的标准动作：$y = (x-3)^2 - 2 \geqslant -2$。

习题 3.1 第 4 题

4. 已知函数 $f(x) = 3x^{2} - 5x + 2$，求 $f(-\sqrt{2})$，$f(-a)$，$f(a + 3)$，$f(a) + f(3)$ 的值。

逐个代入：

$$f(-\sqrt{2}) = 3 \times 2 - 5 \times (-\sqrt{2}) + 2 = 8 + 5\sqrt{2};$$ $$f(-a) = 3(-a)^2 - 5(-a) + 2 = 3a^2 + 5a + 2;$$ $$f(a+3) = 3(a+3)^2 - 5(a+3) + 2 = 3a^2 + 18a + 27 - 5a - 15 + 2 = 3a^2 + 13a + 14;$$ $$f(a) + f(3) = (3a^2 - 5a + 2) + (27 - 15 + 2) = 3a^2 - 5a + 16.$$

自检：注意最后一个是 $f(a) + f(3)$（两个函数值相加），不是 $f(a+3)$——$f(a+3) = 3a^2 + 13a + 14$ 与 $f(a) + f(3) = 3a^2 - 5a + 16$ 不同，别混。$f(3) = 27 - 15 + 2 = 14$ 代入无误。

习题 3.1 第 5 题

5. 已知函数 $f(x) = \frac{x + 2}{x - 6}$，（1）点（3，14）在 $f(x)$ 的图象上吗？（2）当 $x = 4$ 时，求 $f(x)$ 的值。（3）当 $f(x) = 2$ 时，求 $x$ 的值.

(1) $f(3) = \frac{3 + 2}{3 - 6} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3} \neq 14$。所以点 $(3, 14)$ 不在 $f(x)$ 的图象上——“点在图象上”即”横坐标对应的函数值等于纵坐标”。

(2) $f(4) = \frac{4 + 2}{4 - 6} = \frac{6}{-2} = -3$。

(3) 解方程 $f(x) = 2$：

$$\frac{x + 2}{x - 6} = 2 \;\Rightarrow\; x + 2 = 2x - 12 \;\Rightarrow\; x = 14.$$

自检：第 (3) 问解得 $x = 14$，代入验算 $\frac{16}{8} = 2$ ✓。注意方程变形中 $x \neq 6$ 的前提已由分母自动保证（若解出 $x = 6$ 要舍）。

习题 3.1 第 6 题

6. 若 $f(x) = x^{2} + bx + c$，且 $f(1) = 0$，$f(3) = 0$，求 $f(-1)$ 的值.

$f(1) = 0$、$f(3) = 0$ 说明 $1$、$3$ 是方程 $x^2 + bx + c = 0$ 的两个根，所以

$$f(x) = (x - 1)(x - 3),$$ $$f(-1) = (-1 - 1)(-1 - 3) = (-2) \times (-4) = 8.$$

自检：用因式形式一步到位，不用解 $b$、$c$：由韦达定理 $b = -4$、$c = 3$，代回也得 $f(-1) = 1 + 4 + 3 = 8$，两种算法一致。

习题 3.1 第 7 题

7. 画出下列函数的图象： (1) $f(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0,\\1,&x>0;\end{cases}$

(2) $G(n)=3n+1,\ n\in\{1,2,3\}$ .

(1) $f(x)$ 是阶跃函数：$x \leqslant 0$ 时恒为 0，$x > 0$ 时恒为 1。图象是两条水平射线：$x \leqslant 0$ 的部分画在 $y = 0$ 上，端点 $(0, 0)$ 是实心点（$x = 0$ 归这一段）；$x > 0$ 的部分画在 $y = 1$ 上，端点 $(0, 1)$ 是空心点（$x = 0$ 不属于这一段）。

(2) $G(n) = 3n + 1$，$n \in \{1, 2, 3\}$：图象是三个孤立的点 $(1, 4)$、$(2, 7)$、$(3, 10)$——定义域是有限集，图象就只长在这三个点上，不能连成直线。

自检：第 (1) 问的实心/空心是分段函数的分界点归属问题，$x = 0$ 的归属写在 $x \leqslant 0$ 段里，所以 $(0, 0)$ 实心、$(0, 1)$ 空心。第 (2) 问提醒”离散定义域 → 离散图象”，与例 4 笔记本的五个点同一道理。

习题 3.1 第 8 题

8. 如图，矩形的面积为 10. 如果矩形的长为 $x$，宽为 $y$，对角线为 $d$，周长为 $l$，那么你能获得关于这些量的哪些函数？

由矩形面积 $xy = 10$：

$$y = \frac{10}{x},\qquad x > 0.$$

对角线由勾股定理：

$$d = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + \frac{100}{x^2}},\qquad x > 0.$$

周长：

$$l = 2(x + y) = 2\left(x + \frac{10}{x}\right),\qquad x > 0.$$

自检：三个函数都以 $x$（长）为自变量、定义域 $x > 0$（长、宽都是正数）。第 9 题”你会表示哪些量”这类题答案不唯一——只要从 $xy = 10$ 出发，把宽、对角线、周长都表示成长 $x$ 的函数即可。

习题 3.1 第 9 题

9. 一个圆柱形容器的底部直径是 $d \mathrm{~cm}$, 高是 $h \mathrm{~cm}$. 现在向容器内每秒注入某种溶液 $v \mathrm{~cm}^{3}$. 求容器内溶液的高度 $x$ (单位: $\mathrm{cm}$) 关于注入溶液的时间 $t$ (单位: $\mathrm{s}$) 的函数解析式, 并写出函数的定义域和值域.

底面积 $S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$。$t$ 秒内注入的溶液体积是 $vt$，它等于容器内溶液的体积 $S \cdot x$：

$$vt = \frac{\pi d^2}{4} \cdot x \;\Rightarrow\; x = \frac{4vt}{\pi d^2}.$$

定义域：从开始注入（$t = 0$）到注满（$x = h$，即 $t = \frac{h \pi d^2}{4v}$）为止：

$$\left[0,\ \frac{h\pi d^2}{4v}\right].$$

值域：$x$ 从 0 增到 $h$：

$$[0,\ h].$$

自检：这是”匀速注水”的线性模型——体积对时间匀速增加，液面高度就线性上升。量纲核对：$x = \frac{4vt}{\pi d^2}$ 中 $\frac{\mathrm{cm^3/s} \cdot \mathrm{s}}{\mathrm{cm^2}} = \mathrm{cm}$ ✓。若注满后继续注水，解析式不再适用——定义域到 $t = \frac{h\pi d^2}{4v}$ 为止，这是”定义域由实际背景决定”的又一例。

习题 3.1 第 10 题

10. 一个老师用5分制对数学作业评分. 一次作业中, 第一小组同学按座位序号1, 2, 3, 4, 5, 6的次序, 得分依次是5, 3, 4, 2, 4, 5. 你会怎样表示这次作业的得分情况? 用 $x$, $y$ 分别表示序号和对应的得分, $y$ 是 $x$ 的函数吗? 如果是, 那么它的定义域、值域和对应关系各是什么?

用列表法表示最直接：

$y$ 是 $x$ 的函数：每个序号都对应唯一确定的得分。

• 定义域：$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$；
• 值域：$\{2, 3, 4, 5\}$（得分 4、5 出现两次，值域只记一次）；
• 对应关系：表格给出的”序号 → 得分”，即 $f(1) = 5$，$f(2) = 3$，$f(3) = 4$，$f(4) = 2$，$f(5) = 4$，$f(6) = 5$。

自检：定义域是集合 $\{1, \dots, 6\}$ 而非区间——离散数据用列表法最合适，这正是三种表示法”选最恰当的一种”的练习（例 7 前后课本强调的要点）。两个同学得同样的分（如 $x = 1$ 与 $x = 6$ 都得 5）不影响”是函数”。

习题 3.1 第 11 题

11. 函数 $r = f(p)$ 的图象如图所示，（1）函数 $r = f(p)$ 的定义域、值域各是什么？(2）$r$ 取何值时，只有唯一的 $p$ 值与之对应？

图象下方印着一行注释（独立段落），引在这里：

图中，曲线 $l$ 与直线 $m$ 无限接近，但永不相交.

曲线数据按插图读出：横轴刻度 $p = -5, 0, 2, 6$，曲线分两支——左支从 $(-5, 2)$（实心）到 $(0, 5)$（在 $r$ 轴上，取得到）；右支从 $(2, 0)$（实心）出发，随 $p \to 6$ 沿直线 $m$（$p = 6$）无限上升，$p = 6$ 取不到。

(1) 定义域是两支上 $p$ 的取值集合：

$$[-5, 0] \cup [2, 6).$$

值域：左支的 $r$ 从 2 到 5，右支的 $r$ 从 0 到 $+\infty$，并起来是

$$[0, +\infty).$$

(2) 问”$r$ 取何值时，水平线 $y = r$ 与图象只交于一点”。右支在 $[0, +\infty)$ 上单调上升，任何 $r \geqslant 0$ 都与右支交于一点；左支的 $r$ 范围是 $[2, 5]$，所以：

• $0 \leqslant r < 2$：只交右支，唯一 $p$ 值；
• $2 \leqslant r \leqslant 5$：左、右支各交一点，共两个 $p$ 值；
• $r > 5$：只交右支，唯一 $p$ 值。

所以

$$r \in [0, 2) \cup (5, +\infty).$$

自检：端点别放错——$r = 2$ 时交左支的 $(-5, 2)$ 与右支一点，两个交点，所以 $2$ 不在答案里；$r = 0$ 时就是 $p$ 轴，只交 $(2, 0)$ 一点，所以 $0$ 在答案里。“曲线 $l$ 与直线 $m$ 无限接近”说明 $p = 6$ 是渐近线、取不到，右支写成 $[2, 6)$。

习题 3.1 第 12 题

12. 画出定义域为 $\{x\mid-3\leqslant x\leqslant8$ ，且 $x\neq5\}$ ，值域为 $\{y\mid-1\leqslant y\leqslant2,y\neq0\}$ 的一个函数的图象. (1) 将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？ (2) 如果平面直角坐标系中点 $P(x, y)$ 的坐标满足 $-3 \leqslant x \leqslant 8, -1 \leqslant y \leqslant 2$ ，那么其中哪些点不能在图象上？

(1) 画图要满足三条，缺一不可：

• 定义域全盖：对 $x \in [-3, 8]$ 中除 $x = 5$ 外的每一个 $x$，图象上都恰有一个点——“竖直线至多交一点”保证每个 $x$ 至多一个点，还要把 $[-3, 5)$ 与 $(5, 8]$ 两段都画满，不能只画几小段（比如只画 $(3, 7)$ 就漏掉大片定义域）；
• 值域条件：图象上点的纵坐标都在 $[-1, 2]$ 内且不等于 0，并且除 0 外的每个值都要被取到——即折线要在 $y > 0$ 与 $y < 0$ 两个半平面内各自”扫满” $(0, 2]$ 与 $[-1, 0)$ 的取值；
• 在 $x = 5$ 处断开：$x = 5$ 不在定义域，竖线 $x = 5$ 与图象无交点（画图时常借助这个断口从 $y > 0$ 一侧跳到 $y < 0$ 一侧）。

示例（一条最不易出错的画法，答案不唯一）：在 $[-3, 5)$ 与 $(5, 8]$ 两段上各取一条斜线段，

$$y = \frac{5-x}{4}\quad (-3 \leqslant x < 5),\qquad y = -\frac{x-5}{3}\quad (5 < x \leqslant 8).$$

左支从 $(-3, 2)$ 线性下降到 $x \to 5^{-}$ 时 $y \to 0^{+}$，值域恰好扫满 $(0, 2]$；右支从 $x \to 5^{+}$ 时 $y \to 0^{-}$ 线性下降到 $(8, -1)$，值域恰好扫满 $[-1, 0)$。两条支都覆盖自己那一段的每一个 $x$，都不碰 $y = 0$（只无限接近）；$x = 5$ 不在定义域，竖线 $x = 5$ 与图象无交点，图象在 $x = 5$ 处断开（左支终点高度 $0^+$、右支起点高度 $0^-$，正好错开）。画图时特别注意：示例要盖满整个定义域——只画中间几小段（比如左支到 $x = 4.5$ 就停）会在 $x \in (4.5, 5)$ 附近留下没有点的空隙。同学之间的图象差别就来自这里——曲线形状、摆动幅度、断口两侧的跳法都不同，但只要三条都满足就都正确。

(2) 矩形区域 $-3 \leqslant x \leqslant 8$、$-1 \leqslant y \leqslant 2$ 内的点，不能出现在图象上的有两类：

• 直线 $x = 5$ 上的点（$-1 \leqslant y \leqslant 2$）：$x = 5$ 不在定义域，任何以 $x = 5$ 为横坐标的点都不是函数图象上的点；
• 直线 $y = 0$ 上的点（$-3 \leqslant x \leqslant 8$）：$y = 0$ 不在值域，图象上的点纵坐标不能是 0。

除这两条直线上的点外，其余点都能出现在图象上吗？——要注意”竖直线判据”：同一竖直线（同一个 $x$）上只能有一个点在图象上。所以精确的说法是：矩形内除这两条直线以外的点至少可以各取一个组成图象（函数图象是”每列至多一个点”的点集，而不是整个矩形）。

自检：第 (2) 问的”不能在图象上”是硬条件（定义域挖掉 $x = 5$、值域挖掉 $y = 0$）；“竖直线至多交一点”是结构条件（每列最多一个点）。两个条件都要说全。第 (1) 问的示例要同时过三关——定义域每段都画满（不能留 $x$ 方向的空隙）、值域 $(0, 2]$ 与 $[-1, 0)$ 各被扫满、不碰 $y = 0$ 且在 $x = 5$ 处断开；两条覆盖全段的斜线段三条全过，是最稳的画法。

习题 3.1 第 13 题

13. 函数 $f(x) = [x]$ 的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数，例如， $[-3.5] = -4$ ， $[2.1] = 2.$ 当 $x \in (-2.5, 3]$ 时，写出函数 $f(x)$ 的解析式，并画出函数的图象.

按”不超过 $x$ 的最大整数”逐段写。$[x] = n$ 等价于 $n \leqslant x < n+1$——每段左闭右开（区间左端恰好是整数时，$[x]$ 就是这个整数；右端是整数时 $[x]$ 是下一个更小的整数）。在 $x \in (-2.5, 3]$ 上：

$$f(x) = \begin{cases} -3, & -2.5 < x < -2, \\ -2, & -2 \leqslant x < -1, \\ -1, & -1 \leqslant x < 0, \\ 0, & 0 \leqslant x < 1, \\ 1, & 1 \leqslant x < 2, \\ 2, & 2 \leqslant x < 3, \\ 3, & x = 3. \end{cases}$$

图象是阶梯：从高度 $-3$ 到 $2$ 的六级台阶，第一级（高度 $-3$）只跨 $(-2.5, -2)$ 半个单位，其余每级长度 1；最右端 $x = 3$ 处 $[3] = 3$ 是单独的点。

自检：写解析式的关键是端点归属——$[-2] = -2$（不超过 $-2$ 的最大整数就是 $-2$），所以 $-2$ 归"$[x] = -2$"那级（左闭）；$[2] = 2$，所以 $2$ 归"$[x] = 2$"那级（左闭），而 $[2.5] = 2$ 也在这级（右开）。每一段写成 $n \leqslant x < n+1$。$-2.5$ 本身不在定义域内（$x \in (-2.5, 3]$），第一级写成 $-2.5 < x < -2$。图象上每级左端实心、右端空心——与 $y = |x|$ 类分段函数不同，这里实心点在每一级的左端。

习题 3.1 第 14 题

14. 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 $y=\frac{1}{2}ax^{2}(a>0)$ 来描述.

情境：一个物体从静止开始做初速度为 0 的匀加速直线运动，加速度为 $a$（$a > 0$），经过时间 $x$（单位：s）后通过的位移为 $y$（单位：m），则

$$y = \frac{1}{2}ax^2.$$

这就是自由落体的运动学模型（$a = g$ 时是下落距离公式）：位移与时间的平方成正比。

定义域：$x \geqslant 0$（时间从开始运动起）；值域：$y \geqslant 0$。

自检：答案不唯一，只要是”变量关系能用 $y = \frac{1}{2}ax^2$ 刻画”的情境都行（匀加速位移是最标准的）。判对错的标准：关系式确实形如 $\frac{1}{2}ax^2$（$a > 0$），且定义域、值域与情境自洽。

习题 3.1 第 15 题

15. 如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点 P 的距离是 2 km，从点 P 沿海岸正东 12 km 处有一个城镇.

(1) 假设一个人驾驶的小船的平均速度为 $3 \, km/h$ ，步行的速度是 $5 \, km/h$ ，t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点 P 的距离。请将 t 表示为 x 的函数。

(2) 如果将船停在距点 $P4 \mathrm{~km}$ 处, 那么从小岛到城镇要多长时间 (精确到 $0.1 \mathrm{~h}$)?

(1) 航线：小岛 → 海岸停船点 → 城镇。停船点距 P 为 $x$ km，则：

• 海上段：小岛到停船点，斜边 $=\sqrt{x^2 + 2^2}$ km（勾股定理，小岛到 P 的垂直距离 2 km），用时 $\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{3}$ h；
• 陆上段：停船点到城镇，$12 - x$ km（城镇在 P 正东 12 km），用时 $\frac{12 - x}{5}$ h。

总时间

$$t(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{3} + \frac{12 - x}{5},\qquad x \in [0, 12].$$

（$x = 0$：直接停到 P 点下船；$x = 12$：直接开到城镇下船，陆上段为 0。）

(2) $x = 4$ 时：

$$t(4) = \frac{\sqrt{4^2 + 4}}{3} + \frac{12 - 4}{5} = \frac{\sqrt{20}}{3} + \frac{8}{5} \approx \frac{4.472}{3} + 1.6 \approx 1.491 + 1.6 \approx 3.1\ \mathrm{h}.$$

自检：$\sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.472$；代入后总时间约 3.1 h，精确到 0.1 h 满足题意。$x \in [0, 12]$ 是定义域——船只能停在 P 与城镇之间的海岸线上。

习题 3.1 第 16 题

16. 给定数集 $A = \mathbf{R}$, $B = (-\infty, 0]$, 方程

$u ^ {2} + 2 v = 0,$

（1）任给 $u \in A$ ，对应关系 $f$ 使方程①的解 $v$ 与 $u$ 对应，判断 $v = f(u)$ 是否为函数；

(2) 任给 $v \in B$ ，对应关系 g 使方程①的解 u 与 v 对应，判断 $u = g(v)$ 是否为函数.

(1) 由 $u^2 + 2v = 0$ 得

$$v = -\frac{u^2}{2}.$$

对 $A = \mathbf{R}$ 中的任意 $u$，$-\frac{u^2}{2}$ 都有唯一确定的值与之对应（且落在 $B = (-\infty, 0]$ 内）。所以 $v = f(u)$ 是函数。

(2) 由 $u^2 + 2v = 0$ 得

$$u = \pm\sqrt{-2v}.$$

当 $v < 0$（如 $v = -2$）时，$-2v > 0$，方程给出两个解 $u = 2$ 与 $u = -2$——同一个 $v$ 对应两个不同的 $u$，不满足”唯一确定”。所以 $u = g(v)$ 不是函数。

自检：同一方程两个方向，一个成函数一个不成——函数的方向性在这里体现得很清楚：$f$ 是”给 $u$ 定 $v$“（平方运算，唯一）；$g$ 是”给 $v$ 定 $u$“（开方，一正一负两个值）。$v = 0$ 时 $u = 0$ 唯一，但函数要求对定义域内每一个 $v$ 都唯一，一个反例（$v < 0$）就足以判”不是”。

习题 3.1 第 17 题

17. 探究是否存在函数 $f(x)$，$g(x)$ 满足条件：

(1) 定义域相同，值域相同，但对应关系不同；

(2) 值域相同，对应关系相同，但定义域不同.

(1) 存在。 例如定义域都取 $[0, 1]$：

$$f(x) = x,\qquad g(x) = x^2.$$

$f$ 的值域是 $[0, 1]$，$g$ 的值域也是 $[0, 1]$（$x \in [0, 1]$ 时 $x^2$ 从 0 到 1），但对应关系一个是一次函数、一个是二次函数，不同。✓

(2) 存在。 例如对应关系都是”取平方”：

$$f(x) = x^2\ (x \in \mathbf{R}),\qquad g(x) = x^2\ (x \in [0, +\infty)).$$

对应关系相同（都是 $x \mapsto x^2$），值域都是 $[0, +\infty)$，但定义域一个是 $\mathbf{R}$、一个是 $[0, +\infty)$，不同。✓

自检：第 (1) 问的构造思路是”同一个值域被两种不同方式填满”（$x$ 与 $x^2$ 在 $[0,1]$ 上殊途同归）；第 (2) 问的关键是注意：定义域不同但对应关系”形式上相同”——教科书说的”对应关系相同”指的是”相同的自变量对应相同的函数值”这个规则，而 $x^2$ 这个规则可以定义在不同的定义域上。这两条结论反过来印证了”同一函数 = 定义域 + 对应关系”双锁定：只满足一条不够。

习题 3.1 第 18 题

18. 在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率 $\pi$ 准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字。如果记圆周率 $\pi$ 小数点后第 $n$ 位上的数字为 $y$，那么你认为 $y$ 是 $n$ 的函数吗？如果是，请写出函数的定义域、值域与对应关系；如果不是，请说明理由。

是函数。 圆周率 $\pi$ 的小数展开是确定的（$\pi = 3.14159\ldots$），每个数位上的数字都客观存在且唯一，所以对每一个位数 $n$，都有唯一确定的数字 $y$ 与之对应。

• 定义域：$n \in \mathbf{N}^{*}$（$\{1, 2, 3, \ldots\}$，小数点后第 $n$ 位）；
• 值域：$\{0, 1, 2, \ldots, 9\}$ 的一个子集（具体数字由 $\pi$ 的小数展开决定，比如 $y_1 = 1$，$y_2 = 4$，$y_3 = 1$，$y_4 = 5$，$y_5 = 9$，……）；
• 对应关系：”$n \mapsto \pi$ 小数点后第 $n$ 位上的数字”，用语言（或查表）给出，不需要解析式。

自检：这题的考点是”对应关系不一定要解析式”（本节思考题的答案）——一个确定的规则、每个 $n$ 都有唯一结果，就是函数，即使这个规则只能靠记忆说出来。它和狄利克雷函数一样，是”函数概念不依赖解析式”的例证。