浙江 2022 · 数学 q09

冷启动：把题面翻成「一条曲线压住另一条」

假设你没做过恒成立的题。先把式子摆顺。

① 移项分家。 题目要求：对任意 $x\in\mathbf{R}$，

$$a|x-b|+|x-4|-|2x-5|\ \ge\ 0$$

把不含参数的两项挪到右边：

$$a|x-b|\ \ge\ |2x-5|-|x-4|$$

左边只含参数 $a,b$，右边一个参数都没有。记

$$f(x)=a|x-b|,\qquad g(x)=|2x-5|-|x-4|$$

题目就变成一句话：$f$ 的图象恒在 $g$ 的上方（可以重合）。

② 把 $g$ 算清楚。 两个绝对值的零点是 $x=\dfrac52$ 与 $x=4$，它们把数轴切成三段，逐段去掉绝对值：

于是 $g$ 长这样：

• 左边一路下降（斜率 $-1$），到 $x=\dfrac52$ 降到最低点 $g\left(\dfrac52\right)=-\dfrac32$；
• 中间一段陡升（斜率 $3$），到 $x=4$ 升到 $g(4)=3$；
• 右边继续上升（斜率 $1$）。

两个零点：左段 $1-x=0$ 给 $x=1$；中段 $3x-9=0$ 给 $x=3$。所以

$$g(x)\le 0\iff 1\le x\le 3$$

③ $f$ 长什么样。 $f(x)=a|x-b|$ 是一个 V 形：顶点在 $(b,0)$，两条边的斜率是 $\pm a$。参数的意思很直白——$b$ 决定 V 形站在哪儿，$a$ 决定它张得多开（$a$ 越大越陡）。

④ 先把 $a<0$ 排掉。 若 $a<0$，则 $f(x)\le0$ 恒成立；而 $x\to+\infty$ 时 $g(x)=x-1\to+\infty$，$f$ 不可能压住它。所以必有 $a\ge0$。（$a=0$ 时 $f\equiv0$，也压不住右边的 $x-1$，所以其实 $a>0$，下面会算出更紧的。）

于是题目变成：一个顶点在 $(b,0)$、开口 $a$ 的 V 形，要罩住这条先降后升的折线 $g$。 两个问题：V 形的顶点能站在哪儿（定 $b$）？开口至少要多大（定 $a$）？

解法一：代一个点 + 看两端，直接挤出两个必要条件

怎么想到的。 「对任意 $x$ 成立」是一句很强的话——它蕴含「对我挑的那个 $x$ 也成立」。那就挑几个最要命的 $x$ 代进去，逼出参数必须满足什么。四个选项恰好只在「$a$ 的方向」与「$b$ 的方向」两处不同，所以只要挤出这两条，答案就定了。

① 挑哪个 $x$？让含参那一项消失的那个。 $f(x)=a|x-b|$ 在 $x=b$ 处等于 $0$——参数 $a$ 整个消失，这是最干净的一刀。代进原不等式：

$$a\cdot|b-b|\ \ge\ g(b)\quad\Longrightarrow\quad 0\ \ge\ g(b)$$

要用这一条，得先知道 $g\le0$ 落在哪一段。 两个绝对值的零点是 $\dfrac52$ 与 $4$，逐段去绝对值：

$$g(x)=|2x-5|-|x-4|= \begin{cases} (5-2x)-(4-x)=1-x, & x\le\dfrac52\\[4pt] (2x-5)-(4-x)=3x-9, & \dfrac52<x<4\\[4pt] (2x-5)-(x-4)=x-1, & x\ge4 \end{cases}$$

逐段判它什么时候非正：左段 $1-x\le0\iff x\ge1$；中段 $3x-9\le0\iff x\le3$；右段 $x\ge4$ 时 $x-1\ge3>0$，恒正。合起来

$$g(x)\le0\iff 1\le x\le 3$$

于是 $g(b)\le0$ 给出

$$\boxed{1\le b\le 3}\quad\Longrightarrow\quad b\le 3$$

这一刀砍掉了 A 和 C（它们都要求 $b\ge3$，而 $b$ 可以取 $1$——第 ④ 步会把 $(a,b)=(3,1)$ 逐段验一遍）。

② 再看 $x\to+\infty$。 当 $x\ge4$ 且 $x>b$ 时，两边都是直线：

$$a(x-b)\ \ge\ x-1$$

整理成

$$(a-1)\,x\ \ge\ ab-1$$

右边是个常数，左边随 $x$ 变。要让它对任意大的 $x$ 都成立，$x$ 的系数不能是负的——否则左边会一路跌到 $-\infty$，迟早小于右边。所以

$$\boxed{a-1\ge0}\quad\text{即}\quad a\ge 1$$

（$a=1$ 时左边恒为 $0$，还需 $ab-1\le0$ 即 $b\le1$；配上第 ① 步的 $b\ge1$ 得 $b=1$。$(a,b)=(1,1)$ 真的满足题目吗？逐段验一遍：$x\le1$ 时两边都是 $1-x$，取等；$1<x\le\dfrac52$ 时要 $x-1\ge1-x$，即 $x\ge1$ ✓；$\dfrac52<x<4$ 时要 $x-1\ge3x-9$，即 $x\le4$ ✓；$x\ge4$ 时两边都是 $x-1$，取等。四段全过，所以 $a\ge1$ 里的等号真能取到，不是摆设。）

这一刀砍掉了 A 和 B（它们都要求 $a\le1$，而 $a$ 可以取 $3$）。

③ 两条必要条件合起来，D 一定成立。 任何满足题目的 $(a,b)$ 都必须有 $a\ge1$ 与 $b\le3$——这正是选项 D 的内容。所以 D 是一个必然成立的结论。

④ 再确认另外三项都不是必然成立的。 只要找出一组真的满足题目、却让那三项为假的 $(a,b)$ 就够。取 $a=3$、$b=1$，即 $f(x)=3|x-1|$，逐段验：

• $x\le1$：要 $3(1-x)\ge1-x$，即 $2\ge2x$，即 $x\le1$ ✓；
• $1<x\le\dfrac52$：要 $3(x-1)\ge1-x$，即 $4x\ge4$，即 $x\ge1$ ✓；
• $\dfrac52<x<4$：要 $3(x-1)\ge3x-9$，即 $-3\ge-9$ ✓（恒成立）；
• $x\ge4$：要 $3(x-1)\ge x-1$，即 $2(x-1)\ge0$ ✓。

四段全过，所以 $(3,1)$ 确实是一组合法取值。而它

• 有 $a=3>1$ ⟹ A、B 里的「$a\le1$」为假；
• 有 $b=1<3$ ⟹ A、C 里的「$b\ge3$」为假。

一组就把 A、B、C 全否掉了。故选 D。

（这里的分工要看清）：③ 是正面证明 D 必然成立（靠两条必要条件），④ 是反面排除另外三项（靠一个合法的反例）。两件事缺一不可——只做 ③ 不知道别的选项会不会也对，只做 ④ 不知道 D 到底成不成立。

解法二：画出两条曲线，看 V 形能不能罩住折线

怎么想到的。 上一条路是「挑点代」，好处是快，坏处是看不见全貌——挤出来的 $a\ge1$、$b\le3$ 到底有多松？为什么是 $[1,3]$ 而不是别的区间？把两条曲线画出来，这些就都摆在眼前了。这条路也是官方解析走的。

① 先画死的那条：$g$。 两个绝对值的零点是 $\dfrac52$ 与 $4$，逐段去绝对值得

$$g(x)=|2x-5|-|x-4|= \begin{cases} 1-x, & x\le\dfrac52\\[4pt] 3x-9, & \dfrac52<x<4\\[4pt] x-1, & x\ge4 \end{cases}$$

照它画出折线，关键点是 $(1,0)$、$\left(\dfrac52,-\dfrac32\right)$、$(3,0)$、$(4,3)$：先以斜率 $-1$ 缓降到最低点，再以斜率 $3$ 陡升到拐点 $(4,3)$，此后以斜率 $1$ 缓升。它在 $[1,3]$ 上落在 $x$ 轴下方（两端为零），其余地方都在轴上方。

② 再想活的那条：$f=a|x-b|$ 能怎么动。 先把 $a<0$ 排掉：那时 $f\le0$ 恒成立，而 $x\to+\infty$ 时 $g=x-1\to+\infty$，$f$ 压不住它。所以 $a\ge0$——V 形开口朝上，顶点在 $(b,0)$，整条曲线恒在 $x$ 轴上方，最低点就是顶点。于是参数的作用一目了然：$b$ 决定顶点站在哪儿，$a$ 决定两条边张得多陡。

③ 从图上读第一条约束：顶点必须落在 $g\le0$ 的那一段里。

V 形的最低点是 $(b,0)$，高度就是 $0$。要它不被 $g$ 顶穿，至少在 $x=b$ 处得有 $0\ge g(b)$——图上就是：顶点必须落在折线钻到 $x$ 轴以下（或恰好触轴）的那一段的正上方。那一段是 $[1,3]$，所以

$$1\le b\le 3$$

顶点若站在 $[1,3]$ 之外，$g(b)>0$，V 形在自己最低的地方就已经在折线下面了——当场出局，跟 $a$ 多大毫无关系。

④ 从图上读第二条约束：右边那条边要追得上。 往右看，$g$ 最终以斜率 $1$ 上升，$f$ 的右边以斜率 $a$ 上升。两条射线赛跑，斜率小的迟早被追上。所以必须 $a\ge1$。（左边同理：$g$ 以斜率 $-1$ 下降、$f$ 以 $-a$ 下降，往左走 $f$ 涨得不能比 $g$ 慢，同样给出 $a\ge1$。）

⑤ 图还告诉了我们必要条件之外的事：真正卡住的是 $g$ 的那个尖角 $(4,3)$。

顶点站进 $[1,3]$、开口 $a\ge1$，就一定罩得住吗？不一定。 往图上最险的地方看——$g$ 在 $x=4$ 处冲到拐点 $(4,3)$，那是在 $f$ 的右侧最有可能把 $f$ 顶穿的位置——过了 $x=4$，$g$ 只以斜率 $1$ 缓升，而 $f$ 以 $a\ge1$ 上升，差距只会越拉越开，再也追不上（注意 $g$ 本身在 $x>4$ 时仍一路升到 $+\infty$，「最高」说的不是 $g$ 的值，是 $g-f$ 这个差）。因为 $b\le3<4$，$x=4$ 落在顶点右侧，此处 $f(4)=a(4-b)$。要不被顶穿，必须

$$a(4-b)\ \ge\ 3$$

这一条说的是「顶点不能太靠右、开口不能太小」：$b$ 越大，V 形整体右移，它的右边在 $x=4$ 处就越低；$a$ 越小，那条边越平，同样越低。（注意方向：$b$ 变小反而更安全，因为顶点左移会把右边那条边整体抬高。）解出来是

$$b\ \le\ 4-\frac3a$$

• $a\ge3$：此时 $4-\dfrac3a\ge3$，这条比 ③ 的 $b\le3$ 还松，约束由 ③ 说了算，即 $1\le b\le3$；
• $1\le a<3$：此时 $4-\dfrac3a<3$，顶点必须比 $[1,3]$ 再往左收一些，即 $1\le b\le4-\dfrac3a$。

两段合起来正是官方解析给的真实范围：

$$a\ge3,\ 1\le b\le3\qquad\text{或}\qquad 1\le a<3,\ 1\le b\le 4-\frac3a$$

（写成一句话更省事：$1\le b\le3$ 且 $a(4-b)\ge3$。$b\le3<4$ 时由 $a(4-b)\ge3$ 直接得 $a\ge\dfrac{3}{4-b}\ge1$，所以 $a\ge1$ 是它的推论、不必另写。）

为什么只查这一个尖角就够。 其余各段都自动成立，逐段验一遍：

• $x\ge4$：两边都是直线，$x=4$ 处已由上式保证；$f$ 的斜率 $a\ge1$ 不小于 $g$ 的斜率 $1$，往右只会越拉越开 ✓；
• $3\le x\le4$：两边仍是直线（$g=3x-9$）。左端 $x=3$：$f=a(3-b)\ge0=g$ ✓；右端 $x=4$：已保证 ✓。两条直线在两端都不低，中间由线性性自动不低 ✓；
• $1\le x\le3$：$g\le0\le f$ ✓；
• $x\le1$：此时 $x\le1\le b$，故 $f=a(b-x)$，要 $a(b-x)\ge1-x$，即 $ab-1\ge(a-1)x$。右边随 $x$ 单调不减（$a\ge1$），在这一段的右端 $x=1$ 处最大，故只需 $ab-1\ge a-1$，即 $b\ge1$ ✓。

⑥ 但选项只问必要条件。 上面这个真实范围里，每一组 $(a,b)$ 都满足 $a\ge1$ 且 $b\le3$（$4-\dfrac3a$ 在 $1\le a<3$ 上不超过 $3$，所以 $b\le3$ 依然成立）。四个选项里只有 D 是这个范围的正确「外包装」，故选 D。

这两条路差在哪

• 解法一是代数的：一次代入（$x=b$）加一次极限比较（$x\to+\infty$），两刀砍出两个必要条件，四个选项当场只剩一个。全程不画一条线，也不需要知道真实范围长什么样。
• 解法二是几何的：把两条曲线画出来，「顶点站哪儿」「开口张多大」变成看得见的动作，顺带算出真实范围——那是解法一根本没造出来的东西。

第一个实质动作就分岔了（挑点代入 vs 画两条曲线），依赖的东西也不同（「恒成立 ⇒ 对特定点成立」这条逻辑 + 主导项比较 vs 分段函数作图 + 图形上下关系）。所以是两条路。

考场上怎么选：选择题走解法一——两刀就够，最快。但要清楚它交出的只是必要条件；若题目改成填空题「求 $a,b$ 的取值范围」，解法一远远不够，必须走解法二把整块区域读出来，再逐段验充分性。这也正是本题最值得记住的一课：问「则（　）」和问「求范围」，需要的工作量差一个量级。

🕳️ 避坑

• 必要条件不等于答案。 $a\ge1$、$b\le3$ 只是「必须满足」，真实范围（$1\le b\le3$ 且 $a(4-b)\ge3$）小得多。举个例：$a=1.2,\ b=3$ 满足 $a\ge1$ 且 $b\le3$，却在 $x=4$ 处 $f=1.2<3=g$，当场不成立。选择题够用，填空题会答大。
• 先排掉 $a<0$。 后面「比斜率」的那一步默认了 V 形是朝上的。$a<0$ 时 $f\le0$，被右端趋于 $+\infty$ 的 $g$ 直接压死，这句要先说掉。
• 分段点是 $\dfrac52$ 和 $4$。 $|2x-5|$ 的零点是 $\dfrac52$，不是 $5$。这一步错了整条折线就画歪，后面全错。
• 两端都要看，中间的尖角更要看。 只比右边的斜率也能得到 $a\ge1$，但左边（$g$ 以 $-1$ 下降）同样给一条；而真正卡死这道题的既不是两端、也不是 $g$ 的最低点，是 $g$ 的拐点 $(4,3)$——折线在那里最高。分段函数的紧约束往往落在拐点上，扫一遍所有拐点是最不容易漏的做法。
• 本题特有的一处：$g(x)\le0$ 的区间 $[1,3]$ 与选项里的 $3$ 是同一个数——选项里的 $b\le3$ 就是从这个区间的右端点来的。而 $a\ge1$ 里的 $1$ 来自右端 $g$ 的斜率。看到选项里的常数与你算出的关键值对上，说明方向对了。