浙江 2009 · 数学 q14

冷启动：「超过 $50$ 至 $200$ 的部分」——「的部分」三个字是整道题

这道题没有一个字的数学符号，全部条件都在那张表里。表里每一行的写法是

超过 $50$ 至 $200$ 的部分，$0.598$ 元/千瓦时

「的部分」的意思是：涨价只对超出 $50$ 的那些度数生效，前 $50$ 度仍按 $0.568$ 收。 这叫超额累进。读成「用量落在 $(50,200]$ 时整笔按 $0.598$」，就成了另一套规则（全额累进），答案会大出 $1.5$ 元。

于是本题的两个计费口各自切成两段：

三件要先说清的小事：

• 第二档收的是 $150$ 度，不是 $200$ 度。 档宽 $=$ 上界 $-$ 下界。写完把各档的度数加一遍（$50+150=200$ ✓、$50+50=100$ ✓），这是最便宜的一次自检。
• 高峰与低谷是两个独立的计费口，各有各的表、各自从 $0$ 度起算。不能把 $200+100=300$ 度并进一张表再累进——那会把更多的度数推进高价档。
• 恰好用满 $200$ 度时，第三档一度也没进。 边界上取等，第二档的区间写的是「超过 $50$ 至 $200$」，$200$ 含在里面。

解法一：照着表逐档乘加——把 $200$ 度切成 $50+150$

① 高峰。

$$50\times 0.568+150\times 0.598=28.4+89.7=118.1 .$$

② 低谷。

$$50\times 0.288+50\times 0.318=14.4+15.9=30.3 .$$

③ 相加。

$$118.1+30.3=148.4 .$$

答案 $148.4$ 元。 这与官方解析写的是同一串式子。

④ 两次自检。

• 段长对账：$50+150=200$ ✓，$50+50=100$ ✓。
• 档界上不跳：若这户只用 $50$ 度，第一档给 $50\times0.568=28.4$；用第二档的式子算也是 $50\times0.568+0\times0.598=28.4$。两条式子在 $x=50$ 处同值——超额累进的费用函数是连续的折线，没有跳变。要是算出来跳了，那就是把它当成了整笔按新价的全额累进。

⑤ 错法长什么样，顺手看一眼。 高峰整笔按第二档算得 $200\times0.598=119.6$，比 ① 的 $118.1$ 多 $1.5$ 元——多出来的正是前 $50$ 度被重复收的差价 $50\times(0.598-0.568)=1.5$。把第二档的 $150$ 度错写成 $200$ 度，则得 $50\times0.568+200\times0.598=28.4+119.6=148.0$，整整多收了 $200$ 度中前 $50$ 度的那一份，错得更远。填空题没有选项帮你发现这两种错，只能靠 ④ 的两次自检。

解法二：整笔先按第一档的价算，再给超出的度数补差价

① 先看两张表的差价。 每张表里，第二档比第一档贵多少：

$$0.598-0.568=0.03,\qquad 0.318-0.288=0.03 .$$

两张表的档间差价一样，都是 $0.03$ 元/度（顺带一提，第三档对第二档也都是 $0.07$：$0.668-0.598=0.388-0.318=0.07$。这张电价表是把低谷那一列整体抬高做出来的）。

② 高峰。 整笔 $200$ 度先按第一档的价：

$$200\times 0.568=113.6 .$$

再给超过 $50$ 的那 $150$ 度补差价：

$$150\times 0.03=4.5 \qquad\Longrightarrow\qquad 113.6+4.5=118.1 .$$

③ 低谷。

$$100\times 0.288+50\times 0.03=28.8+1.5=30.3 .$$

④ 合计 $148.4$ 元。

⑤ 凭什么两种算法相等。 把第二档那一项拆开就看见了：

$$50\times0.568+150\times0.598 =\underbrace{50\times0.568+150\times0.568}_{200\times 0.568}+150\times\underbrace{(0.598-0.568)}_{0.03} .$$

一般地，档界 $c_1<c_2<\cdots$、单价 $p_1<p_2<\cdots$ 时

$$F(x)=p_1x+\sum_{i\geqslant 2}(p_i-p_{i-1})\,(x-c_{i-1})^{+}, \qquad (t)^{+}=\max\{t,0\} .$$

⑥ 这条路强在哪。 手上要记的数少一半：不必记每一档的单价与档宽，只要记差价（$0.03$、$0.07$，都很整）与档界。档数一多（个税七级）优势就很明显，而且它写出来是一个不带分段记号的闭式。代价是别忘了取正部——没到 $c_2$ 时 $(x-c_2)^{+}=0$，硬代 $x-c_2$ 会补出一个负数来。

解法三：两张表只差一个常数——都按低谷价算，再给高峰统一加 $0.28$

① 逐档作差。

$$0.568-0.288=0.28,\qquad 0.598-0.318=0.28,\qquad 0.668-0.388=0.28 .$$

三档全都是 $0.28$——高峰价就是低谷价整体抬高 $0.28$ 元/度。（这一步必须逐档验：只要有一档不一样，下面的提项就不成立。验的成本是三个减法。）

② 于是两张表并成一张。 两张表的档界相同（都是 $50$、$200$），设按低谷价表算 $x$ 度的费用为 $F_{\text{谷}}(x)$，则对任意 $x$

$$F_{\text{峰}}(x)=\sum_i\bigl(p_i^{\text{谷}}+0.28\bigr)q_i =\sum_i p_i^{\text{谷}}q_i+0.28\sum_i q_i =F_{\text{谷}}(x)+0.28\,x ,$$

最后一步用的是「各档的度数加起来正是总度数」$\sum_i q_i=x$。

③ 高峰那 $200$ 度，先按低谷价算。

$$F_{\text{谷}}(200)=50\times 0.288+150\times 0.318=14.4+47.7=62.1 .$$

④ 再把差额补上。

$$F_{\text{峰}}(200)=62.1+0.28\times 200=62.1+56=118.1\ \checkmark$$

⑤ 低谷那 $100$ 度本来就按低谷价算：$F_{\text{谷}}(100)=30.3$。

⑥ 合计。

$$62.1+30.3+56=148.4 .$$

换句话说：两个时段的 $300$ 度全部按低谷价表各自算一遍（$62.1+30.3=92.4$），再单独给高峰的 $200$ 度加 $0.28\times200=56$，就是本月电费。答案 $148.4$ 元。

⑦ 这条路的价值不在这一问。 它把「两张表」压成「一张表 $+$ 一项一次函数」。题目若改问「高峰多用一度比低谷多花多少钱」，答案直接就是 $0.28$，一档都不用分；若改问「高峰用 $x$ 度、低谷用 $y$ 度时的电费」，也能一口气写出

$$F=F_{\text{谷}}(x)+F_{\text{谷}}(y)+0.28x .$$

⑧ 边界。 这条路吃两个前提：差额处处相同、两张表的档界相同。档界不一样时各档的度数对不齐，$\sum_i q_i=x$ 那一步就断了。本题两个前提都当场验过，可以用。