超额累进逐档累加

解题套路

档界 $0<c_1<c_2<\cdots<c_{n-1}$，各档单价 $p_1,p_2,\dots,p_n$，用量 $x$：

1. 定位：先看 $x$ 落在第几档（$c_{k-1}<x\leqslant c_k$）。
2. 切段：把 $x$ 切成 $c_1,\ (c_2-c_1),\ \dots,\ (x-c_{k-1})$——前面各档全部满额，最后一档只算剩下的那点。
3. 逐段乘：第 $i$ 段乘 $p_i$。
4. 相加：

两个自检

• 段长相加必须等于 $x$。 写完各段先把它们加一遍：$c_1+(c_2-c_1)+\cdots+(x-c_{k-1})=x$。对不上就是某一档写成了累计值而不是本档的量。
• 在档界处两条式子必须同值。 $F$ 是连续的折线（涨价只对新增量生效），所以 $x=c_1$ 时「第一档式子」与「第二档式子」算出来必须一样。跳变意味着把公式写成了全额累进（整笔按新单价），那是另一回事。

全额累进不是这个

「超过 $c_1$ 就整笔按 $p_2$ 算」叫全额累进，函数在 $c_1$ 处向上跳一截，会出现「多用一点点、总价反而贵一大截」的怪事。现实里的电价、水价、个税一律是超额累进，正是为了避开这个跳变。题面写「超过 $A$ 至 $B$ 的部分」，那个「的部分」就是超额累进的标志词。

什么时候想到它

• 题面给的是一张按用量 / 收入 / 时长分档的表，档的描述里带「的部分」；
• 要算的是总额，而不是平均单价；
• 有多个独立的计费口（分时电价的高峰与低谷、家里两块表），每一口各跑一次这套流程再相加。