阶梯计价求总费用

题型说明

• 常见问法：「某地区居民生活用电分高峰、低谷两个时间段分时计价，电价表如下……若某家庭本月高峰用电 $200$ 千瓦时、低谷 $100$ 千瓦时，则应付电费为多少元」。
• 数据全在表里，难点不在算，在读表：分档的口径是「超过 $A$ 至 $B$ 的部分」，即超额累进——只有超出 $A$ 的那部分才涨价。
• 关键动作三步：
  1. 按档界把用量切成几段，写清每段各多少（第二档的量是 $B-A$，不是 $B$）；
  2. 每段乘各自的单价；
  3. 相加。多个计费口（本题的高峰 / 低谷）各算各的，不能把用量并起来再累进。

它就是一个分段函数

设档界是 $0<c_1<c_2<\cdots$、各档单价 $p_1<p_2<\cdots$，则总费用

是一条连续的折线：每到一个档界，斜率从 $p_k$ 变成 $p_{k+1}$，但函数值不跳——因为涨价只对新增的量生效。连续性是一次免费的自检：在 $x=c_1$ 处两条式子必须给出同一个数，对不上就是把档宽写错了。

图上看：以用量为横轴、单价为纵轴画出阶梯，每块矩形的面积就是那一档的钱，总费用是阶梯下方的总面积。

变式

• 反问：给费用求用量——先判断它落在哪一档（把各档界处的费用先算出来当路标），再在那一档里解一次一次方程。
• 比较两种套餐：把两个 $F(x)$ 画在同一张图上，交点就是「两种收费一样」的用量。
• 多计费口：分时电价、峰谷水价——各口各表、各自从 $0$ 起算，最后相加。

常见陷阱

• 按最高档单价全算：$200$ 度全按第二档的价，会多收「前 $50$ 度的差价」。
• 档宽写成档界：第二档收的是 $200-50=150$ 度，不是 $200$ 度。
• 把几个计费口的用量并起来：高峰 $200$ + 低谷 $100$ 不等于「$300$ 度进一张表」，那会把更多的量推进高价档。
• 单位没对齐：价目表的单位是「元 / 千瓦时」，答案要的是元；乘完不必再换算，但别把「千瓦时」当成「千瓦」。