浙江 2024 · 数学 q06

冷启动：拆成三个条件

假设你刚学函数的单调性。单调递增就一句话：$x_1<x_2$ 时总有 $f(x_1)<f(x_2)$。分段函数要在整个 $\mathbf R$ 上满足它，当且仅当三件事同时成立：

1. 左段增：$x<0$ 时 $f(x)=-x^2-2ax-a$ 自己得增；
2. 右段增：$x\ge 0$ 时 $f(x)=e^x+\ln(x+1)$ 自己得增——这一条白送：$e^x$ 增、$\ln(x+1)$ 增，两个增函数相加还增；
3. 接口不断：跨分界 $0$ 也要增——左段在 $0$ 处的左极限不能超过右段在 $0$ 处的值。

第 3 条是易错点「分段单调漏验分界点」守的地方：两段各自增得再好，接口处照样能「跳下来」。本题的四个选项，有三个就埋在这三条的缺失里。

第 ② 条已经白送了，游戏只剩第 ① 条（怎么判左段在 $(-\infty,0)$ 上增）与第 ③ 条（怎么把「接口不断」翻译成不等式）。下面前两条路各给一种判第 ① 条的方法，第三条路绕开判法、直接证伪选项。

解法一：图象性质拆解

怎么想到的。 左段是二次函数，二次函数的单调性不用求导——开口方向与对称轴位置全说清楚。这是二次函数专用的快车道。

① 看开口与对称轴。 $-x^2-2ax-a$ 开口向下（$x^2$ 系数为负），图象先增后减，对称轴以左增、以右减。要它在 $(-\infty,0)$ 上整段增，对称轴必须不落在区间里、且不在区间左边——即对称轴 $\ge 0$：

$$\text{对称轴 } x=-\frac{-2a}{2\times(-1)}=-a\ \ge\ 0\ \Longleftrightarrow\ a\le 0$$

② 把「接口不断」翻译成不等式。 左段在 $x<0$ 取值、取不到 $0$，所以接口处要比的是左极限与右端点值：$x\to 0^-$ 时 $-x^2-2ax-a\to -a$，右段在 $0$ 处的值是 $e^0+\ln 1=1$。跨分界也要增，就要

$$-a\le 1\ \Longleftrightarrow\ a\ge -1$$

（左极限等于 $1$ 也仍然成立——左段取不到 $0$，等号要收。）

③ 联立三条。 左段增 $a\le 0$，右段白送，接口 $a\ge -1$：

$$\boxed{-1\le a\le 0}$$

故选 B。

解法二：导数判增

怎么想到的。 判单调的通用武器是导数：$f'\ge 0$ 的区间上 $f$ 增。它不像解法一那样只吃二次函数——任何可导的段都能判。但注意：导数只管段内，管不了接口——第 ③ 条还得照解法一那样单独验。

① 左段求导。 $f'(x)=-2x-2a$（$x<0$）。要 $f'(x)\ge 0$ 在整个 $(-\infty,0)$ 上成立：注意 $-2x-2a$ 随 $x$ 增大而减小，它在 $(-\infty,0)$ 上的最小值出现在 $x\to 0^-$ 的尽头，即 $-2a$。所以

$$-2a\ge 0\ \Longleftrightarrow\ a\le 0$$

（$a=0$ 时 $f'(x)=-2x>0$ 对一切 $x<0$ 成立，等号仍然收得下。）

② 右段求导。 $f'(x)=e^x+\dfrac{1}{x+1}>0$（$x\ge 0$），恒成立——冷启动里那句「白送」在导数口径下同样白送。

③ 接口单独验（导数管不了它）：左极限 $-a$ 不超过右端点值 $e^0+\ln 1=1$，即

$$-a\le 1\ \Longleftrightarrow\ a\ge -1$$

④ 联立： $\boxed{-1\le a\le 0}$，故选 B。

解法三：边界值速判

怎么想到的。 四个选项是四个范围，但证伪一个范围只要举出范围里的一个反例——特殊值代入。挑两个探针，把三个错误选项各捅一刀。

探针一：$a=-1.5$（在 A 里、不在 B 里）。 接口处：左极限 $-a=1.5>1=f(0)$。往左挪一点点，比如 $x=-0.01$：

$$f(-0.01)=-0.0001-2\times(-1.5)\times(-0.01)+1.5=1.4699>1=f(0)$$

$x=-0.01<0$ 而函数值反而比 $f(0)$ 大——不递增。A 被证伪。

探针二：$a=1$（在 C、D 里、不在 B 里）。 左段对称轴 $x=-a=-1<0$ 落在区间里，开口向下：$f(-2)=-1$、$f(-1)=0$、$f(-0.5)=-0.25$——在 $(-\infty,0)$ 上先增后减，不递增。C、D 一起被证伪。

四个选项排掉三个，只剩 B。单选排三即定。

三条路差在哪。 解法一是二次函数专用快捷键，最省纸；解法二是通用工具，换个函数照样用，但要记得「导数管段内、接口单独验」；解法三不解不等式、只证伪，是选择题的应急杠杆——它的代价是说不清为什么 B 对，只求出「别的都不对」。平时练好前两条，考场上第三条兜底。

🕳️ 避坑

• 漏验接口得 $a\le 0$——正好撞进 A。A 就是给「只验两段」准备的。
• 对称轴不等式方向解反（$-a\ge 0$ 解成 $a\ge 0$）得 $a\ge 0$——正好撞进 D。
• 接口处把 $-a\le 1$ 写成 $a\le 1$（负号弄丢）再与 $a\ge -1$ 联立，会得 $[-1,1]$——正好撞进 C。本题 ABC 三个错误选项各对应一种具体错法，算完对不上 B 时，能对号回查。
• 左段在 $x=0$ 处不取值，所以接口条件用左极限（$-a$）、且等号要收；读题先看分界点归哪一段——若归左段，比较的就直接是两个端点值。